20xx北师大版选修1-1高中数学422最大值、最小值问题第1课时

20xx北师大版选修1-1高中数学422最大值、最小值问题第1课时内容摘要：

( x ) 0 在 [1 ， e] 上恒成立，此时 f ( x ) 在 [1 ， e] 上是减函数 ． 则 f ( x ) m in ＝ f ( e ) ＝ 1 ＋2 ae＝ 3 ，解得 a ＝ e. [ 方法规律总结 ] 已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决 ． 若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [－ 1,2]上的最大值是 3，最小值是－ 29，求 a、 b的值． [答案 ] a＝ 2， b＝ 3或 a＝－ 2， b＝－ 29 [解析 ] f ′(x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3a(x2－ 4x)． 令 f ′(x)＝ 0，得 x＝ 0， x＝ 4. ∵ x∈ [－ 1,2]， ∴ x＝ 0. 由题意知 a≠0. ( 1 ) 若 a 0 ，则 f ′ ( x ) ， f ( x ) 随 x 变化的情况如下表： x ( － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 单调递增 最大值 3 单调递减 ∴ 当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取最大值 f ( 0 ) ＝ b ＝ 3. 又 f ( 2 ) ＝ 8 a － 24 a ＋ 3 ＝－ 16 a ＋ 3 ， f ( － 1) ＝－ 7 a ＋ 3 f ( 2 ) ， ∴ 当 x ＝ 2 时， f ( x ) 取最小值， ∴ － 16 a ＋ 3 ＝－ 29 ， ∴ a ＝ 2. ( 2) 若 a 0 ，则 f ′ ( x ) ， f ( x ) 随 x 变化的情况如下表： x ( － 1,0) 0 ( 0,2) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 单调递减 最小值－ 29 单调递增 ∴ 当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取最小值 f ( 0) ＝ b ＝－ 29. 又 f ( 2) ＝－ 16 a － 29 ， f ( － 1) ＝－ 7 a － 29 f ( 2) ， ∴ 当 x ＝ 2 时， f ( x ) 取最大值，即－ 16 a － 29 ＝ 3 ， ∴ a ＝－ 2. 综上： a ＝ 2 ，b ＝ 3或 a ＝－ 2 ，b ＝－ 29. 综合应用问题 函数 f ( x ) ＝ ax3－ 6 ax2＋ 3 bx ＋ b ，其图像在 x ＝ 2处的切线方程为 3 x ＋ y － 11 ＝ 0. ( 1 ) 求函数 f ( x ) 的解析式； ( 2 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的图像与 y ＝13f ′ ( x ) ＋ 5 x ＋ m 的图像有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围 ． [ 解析 ] ( 1 ) 由题意得 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2－ 12 ax ＋ 3 b ， f ′ ( 2 ) ＝－ 3且 f ( 2 ) ＝ 5 ， ∴ 12 a － 24 a ＋ 3 b ＝－ 38 a － 24 a ＋ 6 b ＋ b ＝ 5， 即 4 a － b ＝ 1－ 16 a ＋ 7 b ＝ 5， 解得 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3. ( 2 ) 由 f ( x ) ＝ x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3 ， 可得 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 12 x ＋ 9 ， 13f ′ ( x ) ＋ 5 x ＋ m ＝13(3 x2－ 12 x ＋ 9) ＋ 5 x ＋ m ＝ x2＋ x ＋ 3 ＋ m ， 则由题意可得 x3－ 6 x2＋ 9 x ＋ 3 ＝ x2＋ x ＋ 3 ＋ m 有三个不相等的实根，。