20xx北师大版选修1-1高中数学412函数的极值1

20xx北师大版选修1-1高中数学412函数的极值1内容摘要：

f ( x ) ＝ x3， f ′ ( 0 ) ＝ 0 但 x ＝ 0 不是 f ( x )＝ x3的极值点 ． 求函数 y ＝ 2 x ＋ 8x 的极值 ． [ 解析 ] 函数的定义域为 x ∈ R 且 x ≠ 0 ， ∴ y ′ ＝ 2 －8x2 ，令y ′ ＝ 0. 得 x ＝ 177。 2 . 当 x 变化时， y ′ ， y 的变化情况如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2,0) 0 ( 0,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋ y － 8 . 8 因此当 x ＝－ 2 时， y 极大值 ＝－ 8 ，当 x ＝ 2 时，由表易知 y 极小值 ＝ 8. 已知函数极值求参数 设 x＝ 1与 x＝ 2是函数 f(x)＝ alnx＋ bx2＋ x的两个极值点． (1)试确定常数 a和 b的值； (2)判断 x＝ 1， x＝ 2是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx2＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ax＋ 2 bx ＋ 1. 由题意得 f ′ ( 1 ) ＝ f ′ ( 2 ) ＝ 0 ， ∴ a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 且a2＋ 4 b ＋ 1 ＝ 0. 解得， a ＝－23， b ＝－16. ∴ f ( x ) ＝－23ln x －16x2＋ x . ( 2 ) x ＝ 1 ， x ＝ 2 分别是函数 f ( x ) 的极小值点和极大值点 ． 理由如下： f ′ ( x ) ＝－23 x－13x ＋ 1 ＝－x2－ 3 x ＋ 23 x. 又 ∵ f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， ∴ 当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时， f ′ ( x ) 0 ；当 x ∈ ( 1 , 2 ) 时， f ′ ( x ) 0 ；当 x∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x ) 0 ，故在 x ＝ 1 处函数 f ( x ) 取得极小值，在 x ＝ 2 处函数取得极大值，故 x ＝ 1 为极小值点， x ＝ 2 为极大值点 ． [方法规律总结 ] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点： (1)根据极值点的导数为 0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2，当 x＝ 1时，有极大值 3. (1)求 a、 b的值； (2)求函数 f(x)的极小值． [答案 ] (1)a＝－ 6， b＝ 9 (2)0 [ 解析 ] ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ， ∵ 当 x ＝ 1 时，函数有极大值 3. ∴ f ′  1  ＝ 0 ，f  1  ＝ 3.∴ 3 a ＋ 2 b ＝ 0 ，a ＋ b ＝ 3. 解之得 a ＝－ 6 ， b ＝ 9. ( 2 ) f ′ ( x ) ＝－ 18 x2＋ 18 x ＝－ 18 x ( x － 1) ． 当 f ′ ( x ) ＝ 0 时， x ＝ 0 或 x ＝ 1. 当 f ′ ( x )。