20xx北师大版选修1-1高中数学31变化的快慢与变化率1

20xx北师大版选修1-1高中数学31变化的快慢与变化率1内容摘要：

率，并计算当 x 0 ＝ 1 ， Δ x ＝12时平均变化率的值 ． [ 分析 ] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率 ． [ 解析 ] 当自变量从 x 0 变化到 x 0 ＋ Δ x 时，函数的平均变化率为f  x 0 ＋ Δ x － f  x 0 Δ x＝ x 0 ＋ Δ x 3－ x30Δ x＝ 3 x20 ＋ 3 x 0 Δ x ＋ (Δ x )2. 当 x 0 ＝ 1 ， Δ x ＝12时， 平均变化率的值为 3 12＋ 3 1 12＋122＝194. [ 方法规律总结 ] 1. 求函数 y ＝ f ( x ) 从 x0到 x 的平均变化率的步骤为： ( 1 ) 求自变量的增量 Δ x ＝ x － x0. ( 2 ) 求函数的增量 Δ y ＝ y － y0＝ f ( x ) － f ( x0) ＝ f ( x ＋ Δ x ) － f ( x0) ． ( 3 ) 求平均变化率Δ yΔ x＝f  x0＋ Δx  － f  x0Δ x. 2 ． 要注意 Δ x ， Δ y 的值可正，可负，但 Δ x ≠ 0 ， Δ y 可为零，若函数 f ( x ) 为常值函数，则 Δ y ＝ 0. 函数 f ( x ) ＝ 1 x 在区间 [ 1 , 1 ＋ Δx ] 内的平均变化率为[ 答案 ] － 1 1 ＋ 1 ＋ Δx  1 ＋ Δx [ 解析 ] ∵ Δy ＝ f (1 ＋ Δx ) － f ( 1 ) ＝11 ＋ Δ x－ 1 ＝1 － 1 ＋ Δ x1 ＋ Δ x ＝1 － 1 － Δx 1 ＋ 1 ＋ Δx  1 ＋ Δx ＝－ Δx 1 ＋ 1 ＋ Δx  1 ＋ Δx， ∴ΔyΔx＝－1 1 ＋ 1 ＋ Δx  1 ＋ Δx . ∴ 函数 f ( x ) 在区间 [ 1 , 1 ＋ Δx ] 内的平均变化率为－ 1 1 ＋ 1 ＋ Δx  1 ＋ Δx . 瞬时变化率 求函数 y＝ f(x)＝ 3x2＋ x在点 x＝ 1处的瞬时变化率 ． [ 解析 ] Δy ＝ f (1 ＋ Δx ) － f ( 1 ) ＝ 3 ( 1 ＋ Δx )2＋ (1 ＋ Δx ) － (3 ＋ 1) ＝ 7 Δx ＋ 3( Δx )2. ∴ΔyΔx＝7 Δx ＋ 3  Δx 2Δx＝ 7 ＋ 3 Δx . ∴ 当 Δx 趋于 0 时，ΔyΔx＝ 7 ＋ 3 Δx 趋于 7 ＋ 3 0 ＝ 7. ∴ 函数 y ＝ 3 x2＋ x 在点 x ＝ 1 处的瞬时变化率为 7. [ 方法规律总结 ] 求函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ x0处的瞬时变化率的步骤： ① 求 Δy。