20xx北师大版选修1-1高中数学32导数的概念及其几何意义1

20xx北师大版选修1-1高中数学32导数的概念及其几何意义1内容摘要：

＋ 1 － (13＋ 2 1 ＋ 1) ＝ 5Δ x ＋ 3(Δ x )2＋ (Δ x )3， Δ yΔ x＝5Δ x ＋ 3  Δ x 2＋  Δ x 3Δ x＝ 5 ＋ 3Δ x ＋ (Δ x )2， f ′ (1) ＝ limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ limΔ x → 0[5 ＋ 3Δ x ＋ (Δ x )2] ＝ 5. 求切线方程 已知曲线 C： f(x)＝ x3. (1)求曲线 C上横坐标为 1的点处的切线的方程； (2)求过点 (1,1)与曲线 C相切的直线方程 ． [ 解析 ] (1) ∵ f′ ( x ) ＝ limΔx → 0  x ＋ Δx 3－ x3Δx ＝ limΔx → 0  Δx 3＋ 3 x2Δx ＋ 3 x  Δx 2Δx＝ limΔx → 0[( Δx )2＋ 3 x2＋ 3 x Δx ] ＝ 3 x2， ∴ f′ (1) ＝ 3 12＝ 3 ，又 f (1) ＝ 13＝ 1 ， ∴ 切线方程为 y － 1 ＝ 3( x － 1) ， 即 3 x － y － 2 ＝ 0. (2) 设切点为 P ( x0， x30) ， 由 (1) 知切线斜率为 k ＝ f′ ( x0) ＝ 3 x20， 故切线方程为 y － x30＝ 3 x20( x － x0) ． 又点 (1,1) 在切线上，将其代入切线方程得 1 － x30＝ 3 x20(1 －x0) ， 即 2 x30－ 3 x20＋ 1 ＝ 0 ， ∴ ( x0－ 1)2(2 x0＋ 1) ＝ 0 ， 解得 x0＝ 1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y － 1 ＝ 3( x － 1) 或 y ＋18＝34( x ＋12) ， 即 3 x － y － 2 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0. [ 方法规律总结 ] 1. 求曲线在点 P ( x0， y0) 处切线的步骤： (1) 求出函数 y ＝ f ( x ) 在点 x0处的导数 f ′ ( x0) ； (2) 根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － y0＝ f ′ ( x0)( x－ x0) ； 2 ． 过曲线外的点 P ( x1， y1) 求曲线的切线方程的步骤： (1) 设切点为 Q ( x0， y0) ； (2) 求出函数 y ＝ f ( x ) 在点 x0处的导数 f ′ ( x0) ； (3) 利用 Q 在曲线上和 f ′ ( x0) ＝ kPQ，解出 x0， y0及 f ′ ( x0) ． (4) 根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － y0＝ f ′ ( x0)( x－ x0) ． 3 ． 要正确区分曲线 y ＝ f ( x ) 在．点 P 处的切线，与 过．点 P 的曲线 y ＝ f ( x ) 的切线 ． 4 ． f ′ ( x 0 )0 时，切线的倾斜角为锐角； f ′ ( x 0 ) 0 时，切线的倾斜角为钝角； f ′ ( x 0 ) ＝ 0 时，切线与 x 轴平行 ． f ( x ) 在 x 0处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在 ． 已知曲线方程为 y＝ x2， 则： (1)过点 A(2,4)且与曲线相切的直线方程为 ________； (2)过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程为 ________． [答案 ] (1)4x－ y－ 4＝ 0 (2)2x－ y－ 1＝ 0或 10x－ y－ 25＝ 0 [ 解析 ] (1) ∵ f′ ( x ) ＝ limΔx → 0  x ＋ Δx 2－ x2Δx＝ limΔx → 0 2 Δx x ＋  Δx 2Δx ＝。