20xx北师大版选修1-1高中数学232双曲线的简单性质1

20xx北师大版选修1-1高中数学232双曲线的简单性质1内容摘要：

故选 B. 利用几何性质求双曲线的标准方程 ( 1 ) 已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 ，且经过点 P ( 6 ， 2) ，求双曲线方程； ( 2 ) 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M ( －3 , 2 3 ) ，求双曲线方程 ． [ 解析 ] ( 1 ) 设双曲线方程为y2a2 －x2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) ． 由题意知ab＝23. ∵ 双曲线过点 P ( 6 ， 2) ， ∴4a2 －6b2 ＝ 1 ， 解方程组 ab＝23，4a2 －6b2 ＝ 1 ，得 a2＝43，b2＝ 3. 故所求双曲线方程为34y2－13x2＝ 1. ( 2 ) 设所求双曲线方程为 x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) ． ∵ e ＝53， ∴ e2＝c2a2 ＝a2＋ b2a2 ＝ 1 ＋b2a2 ＝259， ∴ba＝43. 解方程组 ba＝43，9a2 －12b2 ＝ 1 ，得 a2＝94，b2＝ 4. ∴ 所求的双曲线方程为x294－y24＝ 1. [ 方法规律总结 ] 1. 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法 ． 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为 mx2－ ny2＝ 1( mn 0 ) ，从而直接求得 ． 2 ． 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程 ． 渐近线为y ＝nmx 的双曲线方程可设为：x2m2 －y2n2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ；如果两条渐近线的方程为 Ax 177。 By ＝ 0 ，那么双曲线的方程可设为 A2x2－ B2y2＝m ( m ≠ 0) ；与双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． ( 1 ) 顶点间距离为 6 ，渐近线方程为 y ＝ 177。 32x ，则双曲线的方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 与双曲线 x2－ 2 y2＝ 2 有公共渐近线，且过点 M (2 ，－ 2)的双曲线方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) x29 －4 y 281 ＝ 1 或x 29 －y 24 ＝ 1 ( 2 )y 22 －x 24 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 设以 y ＝ 177。 32x 为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ ( λ ≠ 0) ． 由双曲线的顶点间距为 6 ，可得 2 a ＝ 6 ，所以， 当 λ 0 时， a2＝ 4 λ ， ∴ 2 a ＝ 2 4 λ ＝ 6 ，即 λ ＝94， 当 λ 0 时， a2＝－ 9 λ ， ∴ 2 a ＝ 2 － 9 λ ＝ 6 ，即 λ ＝－ 1. ∴ 双曲线的方程为x29－4 y281＝ 1 或y29－x24＝ 1. ( 2 ) 设与双曲线x22－ y2＝ 1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－ y2＝ k ，将点 (2 ，－ 2) 代入，得 k ＝222－ ( － 2)2＝－ 2 ， ∴ 双曲线的标准方程 为y22－x24＝ 1. 双曲线的离心率 求适合下列条件的双曲线的离心率： ( 1 ) 双曲线的渐近线方程为 y ＝ 177。 32x . ( 2 ) 过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为 9 0 176。 . [ 解析 ] ( 1 ) 若焦点在 x 轴上，则ba＝32， 所以 e ＝b2a2 ＋ 1 ＝132； 若焦点在 y 轴上，则ab＝32， 则ba＝23，所以 e ＝b2a2 ＋ 1 ＝133. 综上，双曲线的离心率为132或133. ( 2 ) 焦点在 x 轴上时，如图所示， ∠ AF1B ＝ 9 0 176。 ， 所以 | F1F2|＝12| AB |. 所以 2 c ＝b2a，即 2ca＝b2a2 ， 所以 2 e ＝ e2－ 1. 即 e2－ 2 e － 1 ＝ 0 ， 所以 e ＝ 1 ＋ 2 ( 舍去负值 ) ． 所以离心率为 1 ＋ 2 . 同理，焦点在 y 轴上时，离心率也为 1 ＋ 2 . 综上，双曲线的离心率为 1 ＋ 2 . [ 方法规律总结 ] 求双曲线的离心率的常用方法 ( 1 ) 利用 a ， c 求 ． 若可求得 a ， c ，则直接利用 e ＝ca得解 ． ( 2 ) 利用 a ， b 求 ． 若已知 a ， b ，可直接 利用 e ＝ 1 ＋ ba2得解 ． ( 3 ) 利用方程求 ． 若得到的是关于 a ， c 的齐次方程 ( p ， q ， r为常数，且 p ≠ 0) ，即 p c2＋ q ac ＋ r a2＝ 0 ，则转化为关于 e 的方程 p e2＋ q e ＋ r ＝ 0 求解 ． ( 1 ) 已知双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B ． 2 C.52 D ．22 (。