20xx北师大版选修1-1高中数学231双曲线及其标准方程1

20xx北师大版选修1-1高中数学231双曲线及其标准方程1内容摘要：

方程：根据焦点位置，设方程为x2a2 －y2b2 ＝ 1 或y2a2 －x2b2 ＝1( a 0 ， b 0 ) ，焦点不定时，亦可设为 mx2＋ ny2＝ 1( m n 0 ) ； ( 3 ) 寻关系：根据已知条件列出关于 a 、 b ( 或 m 、 n ) 的方程组； ( 4 ) 得方程：解方程组，将 a 、 b 、 c ( 或 m 、 n ) 的值代入所设方程即为所求 ． 2 ． 在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋ my2＝ 1( m 0 ， n 0 ) 以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为 mx2＋ ny2＝ 1 ，但这里应有 m n 0 . 求适合下列条件的双曲线的标准方程： ( 1 ) 双曲线的一个焦点坐标是 (0 ，－ 6) ，经过点 A ( － 5 ， 6) ，_ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 与椭圆x216＋y225＝ 1 共焦点，且过点 (1 ，－52) ， _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] ( 1 ) y216 －x 220 ＝ 1 ( 2 )y 25 －x 24 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 解法一：由已知得， c ＝ 6 ，且焦点在 y 轴上，则另一焦点坐标是 ( 0 , 6 ) ． 因为点 A ( － 5 , 6 ) 在双曲线上，所以点 A 与两焦点 的距离的差的绝对值是常数 2 a ，即 2 a ＝ | － 5 2＋  6 ＋ 6 2－ － 5 2＋  6 － 6 2| ＝ | 1 3 － 5| ＝ 8 ， 得 a ＝ 4 ， b2＝ c2－ a2＝ 62－ 42＝ 2 0 . 因此，所求的双曲线标准方程是y216－x220＝ 1. 解法二：由焦点坐标知 c ＝ 6 ， ∴ a2＋ b2＝ 36 ， ∴ 双曲线方程为y2a2 －x236 － a2 ＝ 1. ∵ 双曲线过点 A ( － 5 , 6 ) ， ∴36a2 －2536 － a2 ＝ 1 ， ∴ a2＝ 16 ， b2＝ 2 0 . 双曲线方程为y216－x220＝ 1. ( 2 ) 由x216＋y225＝ 1 知焦点为 F1(0 ，－ 3) ， F2( 0 , 3 ) ． 设双曲线的方程为y2a2 －x2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) ，则有  254 a2 －1b2 ＝ 1 ，a2＋ b2＝ 9.∴ a2＝ 5 ， b2＝ 4. ∴ 所求的双曲 线的方程为y25－x24＝ 1. 双曲线的定义在解题中的应用 已知双曲线的方程是x216－y28＝ 1 ，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F 1 的距离为 10 ，点 N 是 PF 1 的中点，求 | ON |的大小 ( O 为坐标原点 ) ． [ 解析 ] 设双曲线的另一个焦点为 F 2 ，连接 PF 2 ， ON 是三角形 PF 1 F 2 的中位线，所以 | ON |＝12| PF 2 |， 因为 || PF 1 |－ | PF 2 || ＝ 8 ， | PF 1 |＝ 10 ， 所以 | PF 2 |＝ 2 或 18 ， | ON |＝12| PF 2 |＝ 1 或 9. 在双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) 中， F 1 、 F 2 是两焦点， P 在双曲线上，若 PF 1→ PF 2→＝ 0 ， t a n ∠ PF 1 F 2 ＝ 2 ，则a － ba ＋ b＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] － 13 [ 解析 ] 因为 P 在双曲线上，且 PF1→ PF2→＝ 0 ， 所以 △ PF1F2是直角三角形 ． 又因为 ta n ∠ PF1F2＝ 2 ，所以 | PF2|＝ 2| PF1|. 根据双曲线的定义有 | PF2|－ |。