20xx北师大版选修1-1高中数学231双曲线及其标准方程

20xx北师大版选修1-1高中数学231双曲线及其标准方程内容摘要：

2𝑎242𝑏2= 1 , 解得 1𝑎2= 116,1𝑏2= 19( 不合题意 ,舍去 ) . 当双曲线的焦点在 y 轴上时 ,设双曲线的方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2= 1( a 0, b 0) . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵ 点 P1, P2在双曲线上 , ∴ 3 52 2𝑎2( 2 )2𝑏2= 1 ,42𝑎2 4 73 2𝑏2= 1 ,解得 1𝑎2=19,1𝑏2=116, 即 a2= 9, b2= 16 . ∴ 所求双曲线的方程为𝑦29−𝑥216= 1 . 解法二 : ∵ 双曲线的焦点位置不确定 , ∴ 设双曲线方程为 mx2+ n y2= 1( mn 0) . ∵ 点 P1, P2在双曲线上 , ∴ 4 𝑚 +454𝑛 = 1 ,169 7 𝑚 + 16 𝑛 = 1 ,解得 𝑚 = 116,𝑛 =19. ∴ 所求双曲线的方程为 𝑥216+𝑦29= 1, 即𝑦29−𝑥216= 1 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 反思 当双曲线的焦点位置不确定时 ,将双曲线方程设为 mx 2 + n y 2 = 1( m n 0 ) ,运算比较简便 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 􀎥 变式训练 2 􀎥 求与双曲线𝑥216−𝑦24= 1 有相同的焦点 , 且经过点(3 2 , 2 ) 的双曲线的标准方程 . 解 :设所求双曲线方程为𝑥216 𝜆−𝑦24 + 𝜆= 1( 4 λ 16) . ∵ 双曲线经过点 (3 2 , 2 ) , ∴1816 𝜆−44 + 𝜆= 1, ∴ λ = 4 或 λ = 14 ( 舍去 ) . ∴ 所求双曲线方程是𝑥212−𝑦28= 1 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 焦点三角形问题 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 ,首先要注意定义中的条件 | | P F1| | P F2||= 2 a 的应用。 其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算 ,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 . 典型例题 3 如图 , 设双曲线𝑥24−𝑦29= 1, F1, F2是其两个焦点 , 点 M 在双曲线上 . ( 1 ) 当 ∠ F1MF2= 90 176。 时 , 求 △ F1MF2的面积 . ( 2 ) 若 ∠ F1MF2= 60 176。 , △ F1MF2的面积是多少 ? 若 ∠F1MF2= 120 176。 , △ F1MF2的面积又是多少 ? ( 3 ) 观察以上计算结果 , 你能看出随 ∠ F1MF2的变化 , △ F1MF2的面积将怎样变化吗 ? 试证明你的结论 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 :求解有关焦点三角形问题 ,可灵活运用双曲线的定义及余弦定理 ,同时注意整体代换思想的运用 . 解 : ( 1 ) 由双曲线方程 ,知 a= 2, b= 3, c= 13 . 设 |MF1| = r1, |MF2| = r2( r1r2) . 由双曲线的定义 ,有 r1 r2= 2 a= 4, 两边平方 ,得 𝑟12+ 𝑟22 2 r1r2= 16, ∴ |F1F2|2 4 𝑆△ 𝐹1𝑀 𝐹2= 16, ∴ 52 16 = 4 𝑆△ 𝐹1𝑀 𝐹2, 解得 𝑆△ 𝐹1𝑀 𝐹2= 9 . ( 2 ) 若 ∠ F1MF2= 60 176。 ,在 △ MF1F2中 ,由余弦定理 ,得 |F1F2|2= 𝑟12+ 𝑟22 2 r1r。