20xx北师大版选修1-1高中数学222抛物线的简单性质

20xx北师大版选修1-1高中数学222抛物线的简单性质内容摘要：

路分析 :将直线与抛物线的位置关系转化为直线方程与抛物线方程恰有一个公共解 .同时注意分类讨论思想的运用 . 解 :联立方程 ,得 𝑦 = ( 𝑎 + 1 ) 𝑥 1 ,𝑦2= 𝑎 𝑥 , 消去 x ,得𝑎 + 1𝑎y2 y 1 = 0 . ① 若𝑎 + 1𝑎= 0, 即 a= 1, 则方程为 y 1 = 0, 得 𝑥 = 1 ,𝑦 = 1 . ② 若𝑎 + 1𝑎≠ 0, 即 a ≠ 1, 由 Δ = 0, 得 1 +4 ( 𝑎 + 1 )𝑎= 0, 解得 a= 45. 这时直线与抛物线相切 ,只有一个公共点 . 综上 ,当 a= 1, 45时 ,直线 y= ( a+ 1) x 1 与 y2= a x ( a ≠ 0) 只有一个公共点 . 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 反思 解答过程中的失误是不讨论二次项系数𝑎 + 1𝑎= 0, 即 a= 1 的可能性 ,从而漏掉一解 .在研究直线与抛物线的位置关系时 ,应特别注意 :判别式 Δ = 0 并非是直线与曲线仅有一个公共点的充要条件 ( Δ = 0 是直线与曲线仅有一个公共点的充分不必要条件 ) .本题用代数方法解完后 ,应用几何方法验证一下 :当 a= 1 时 ,直线 y= 1 与抛物线 y2= x 的对称轴平行 ,恰有一个公共点 ( 代数特征是系数为零 )。 当 a= 45时 ,直线 y=15x 1 与抛物线 y2= 45x 相切 . 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 􀎥 变式训练 3 􀎥 顶点在原点 , 焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y= 2 x 4所得的弦长 | A B | = 3 5 , 求抛物线方程 . 解 :设抛物线 y2= a x ( a ≠ 0 ) ,将 y= 2 x 4 代入得 4 x2 ( a+ 16) x+ 16 = 0 . 设 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 即 x1, x2为方程 4 x2 ( a+ 16) x+ 16 = 0 的两个根 ,则有 x1+x2=𝑎 + 164, x1x2= 4, ∴ |x1 x2|= | 𝑥1 𝑥2|2= ( 𝑥1+ 𝑥2)2 4 𝑥1𝑥2= 𝑎 + 164 2 16 . ∴ | A B | = 1 + 𝑘2 |x1 x2|= 5 𝑎 + 164 2 16 . 又 | A B | = 3 5 , ∴ a= 4 或 a= 36 . ∴ 所求抛物线的标准方程为 y2= 4 x 或 y2= 36 x . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 抛物线的实际应用问题 1 .解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化 . 2 .解答中常采用 “ 建模、运算、回答 ” 三步走的方法 . 典型例题 4 一辆卡车高为 3 m , 宽为 1 . 6 m , 欲通过断面为 抛物线形的隧道 , 如图所示 ,已知拱口宽 AB 恰好是拱高 CD 的 4 倍 , 若拱宽为 a m, 求能使卡车通过的 a的最小整数值 . 思路分析 :要求拱宽 a 的最小值 ,需建立适当的平面直角坐标系 ,写出抛物线的方程 ,然后利用方程求解 . 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :如图 ,以拱顶为原点 ,拱高所在直线为 y 轴 ,建立平面直角坐标系 ,设抛物线的方程为 x2= 2 py ( p 0 ) ,则点 B 的坐标为 𝑎2, 𝑎4 .又点 B 在抛物线上 , 所以 𝑎2 2= 2 p 𝑎4 . 所以 p=𝑎2. 所以抛物线方程为 x2= ay 𝑎2≤ 𝑥 ≤𝑎2 . 将点 E (0 . 8, y ) 代入抛物线方程 ,得 y= 0 . 64𝑎. 要使卡车能通过隧道 ,则点 E 到拱底 AB 的距离𝑎4 | y|=𝑎4−0 . 64𝑎 3 .解得a 12 . 21 .因为 a 取整数 ,所以 a 的最小值为 13 . 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 􀎥 变式训练 4 􀎥 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成 , 尺寸如图所示 , 某卡车载一集装箱 , 箱宽为 3 m , 车与箱共高 4 m , 该车能否通过此隧道 ? 请说明理由 . 探究五 ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 建立如图所示的平面。