20xx北师大版选修1-1高中数学222抛物线的简单性质1

20xx北师大版选修1-1高中数学222抛物线的简单性质1内容摘要：

标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解 ． (1)斜率为 2的直线经过抛物线 y2＝ 4x的焦点 ， 与抛物线相交于两点 A、 B， 则线段 AB的长度为 ________． (2)过抛物线 y2＝ 8x的焦点作直线 l， 交抛物线于 A， B两点 ， 若线段 AB中点的横坐标为 3， 则 |AB|的长度为 ________． [答案 ] (1)5 (2)10 [解析 ] (1)如图 ， 由抛物线的标准方程可知 ， 焦点F(1,0)， 准线方程 x＝－ 1. 由题设 ， 直线 AB的方程为： y＝ 2x－ 2. 代入抛物线方程 y2＝ 4x， 整理得： x2－ 3x＋ 1＝ 0. 设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， 由抛物线定义可知 ， |AF|等于点 A到准线 x＝－ 1的距离 |AA′|， 即 |AF|＝ |AA′|＝ x1＋ 1， 同理 |BF|＝ x2＋ 1， ∴ |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ x1＋ x2＋ 2＝ 3＋ 2＝ 5. (2) 由抛物 线 y2＝ 8 x 知， p ＝ 4. 设 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，根据抛物线定义知： | AF |＝ x2＋p2， | BF |＝ x2＋p2， ∴ | AB |＝ | AF |＋ | BF |＝ x1＋p2＋ x2＋p2＝ x1＋ x2＋ p ， ∴ x1＋ x2＝ | AB |－ p . 由条件知x1＋ x22＝ 3 ，则 x1＋ x2＝ 6 ， ∴ | AB |－ p ＝ 6 ，又 ∵ p ＝ 4 ， ∴ | AB |＝ 10. 最值问题 设 P是抛物线 y2＝ 4x上的一个动点 ， F为抛物线焦点 ． (1)求点 P到点 A(－ 1,1)的距离与点 P到直线 x＝－ 1的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2)， 求 |PB|＋ |PF|的最小值 ． [ 解析 ] (1) 如图，易知抛物线的焦点为 F (1,0) ，准线方程是 x ＝－ 1 ，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x ＝－ 1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离 ． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点 P 到点 A ( － 1,1) 的距离与点 P 到 F (1,0) 的距离之和最小 ． 显然，连 AF 交抛物线于 P 点， 故最小值为 22＋ 12，即 5 . (2) 如图把点 B 的横坐标代入 y2＝ 4 x 中，得 y ＝ 177。 12 ，因为12 2 ，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线于 Q ，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知： | P1Q |＝ | P1F |. 那么 | PB |＋ | PF |≥ | P1B |＋ | P1Q | ＝ | BQ |＝ 3 ＋ 1 ＝ 4. 即最小值为 4. [方法规律总结 ] 与抛物线有关的最值问题 ， 一是涉及到焦点或准线的距离 ， 可利用抛物线的定义 (即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离 )， 构造出 “ 两点间线段最短 ”或 “ 点到直线的垂线段最短 ” 使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小 ， 常转化为函数最值求解 ． (1) 定点 M3 ，103与抛物线 y2＝ 2 x 上的点 P 之间的距离为d1， P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1＋ d2取最小值时， P 点坐标为 ( ) A ． (0,0) B ． (1 ， 2 ) C ． (2,2) D ．18，－12 (2) 设 P 是抛物线 y2＝ 2 x 上任一点，则 P 到直线 x － y ＋ 3 ＝0 的距离的最小值为 ________ ，点 P 的坐标为 ________ ． [ 答案 ] (1)C (2) 5 24 ( 12 ， 1) [ 解析 ] (1) 如下图 ． 连结 PF ，则 d1＋ d2＝ | PM |＋ | PF |≥ | MF |，知 d1＋ d2最小值是 | MF |，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立，而直线 MF的方程为 y ＝43 x －12，与 y2＝ 2 x ，联立求得 x ＝ 2 ， y ＝ 2 或 x ＝18，y ＝－12( 舍去 ) ，所以， P 点坐标为 (2,2) ． (2) 解法一：设 p ( x0， y0) 是 y2＝ 2 x 上任一点，则点 P 到直线l 的距离 d ＝| x0－ y0＋ 3|2＝|y20。