20xx北师大版选修1-1高中数学211椭圆及其标准方程1

20xx北师大版选修1-1高中数学211椭圆及其标准方程1内容摘要：

2 ＋ － 2 3 2b2 ＝ 1， 解得 a2＝ 5b2＝ 15. 因为 a b ， 所以方程无解 ． 故所求椭圆的方程为x215＋y25＝ 1. 解法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，且m ≠ n ) ，依题意有 3 m ＋ 4 n ＝ 112 m ＋ n ＝ 1，解得 m ＝115n ＝15. 所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝ 1. [ 方法规律总结 ] 利用待定系数法求椭圆的标准方程，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定 a b2的值，可归纳为“ 先定型，再定量 ” ，其一般步骤是： ① 定类型：根据条件判断焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ；也可设椭圆方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，m ≠ n ) ． ② 确定未知量：根据已知条件列出关于 a 、 b 、 c 的方程组，解方程组，可得 a 、 b 的值，然后代入所设方程即可 ． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程 ． ( 1 ) 经过两点 A ( 0 , 2 ) ， B12， 3 的椭圆标准方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 经过点 (2 ，－ 3) 且与椭圆 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦点的椭圆标准方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) x 2 ＋ y24 ＝ 1 ( 2 )x 210 ＋y 215 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 设所求椭圆的方程为x2m＋y2n＝ 1( m 0 ， n 0 ) ， ∵ 椭圆过 A ( 0 , 2 ) ， B12， 3 . ∴ 0m＋4n＝ 114 m＋3n＝ 1，解得 m ＝ 1n ＝ 4， 即所求椭圆方程为 x2＋y24＝ 1. ( 2 ) ∵ 椭圆 9 x2＋ 4 y2＝ 36 的焦点为 (0 ， 177。 5 ) ，则可设所求椭圆方程为x2m＋y2m ＋ 5＝ 1( m 0 ) ， 又椭圆经过点 (2 ，－ 3) ，则有4m＋9m ＋ 5＝ 1 ， 解得 m ＝ 10 或 m ＝－ 2( 舍去 ) ， 即所求椭圆的方程为x210＋y215＝ 1. 椭圆的标准方程 已知方程x 2k － 4－y 2k － 10＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 分析 ] 先将方程化成标准形式，再利用焦点在 x 轴上的椭圆方程的充要条件求参数 ． [ 解析 ] 原方程可化为x2k － 4＋y210 － k＝ 1 ，因为其表示焦点在x 轴上的椭圆， ∴ k － 4 010 － k 0k － 4 1 0 － k，解得 7 k 1 0 . [ 方法规律总结 ] 1. 利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式 ． 2.x2m＋y2n＝ 1 表示椭圆的条件是 m 0 ，n 0 ，m ≠ n ；表示焦点在 x 轴上的椭圆的条件是 m 0 ，n 0 ，m n ；表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 m 0 ，n 0 ，n m . 若方程x2m－y2m2－ 2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( ) A ． m 0 B ． 0 m 1 C ． － 2 m 1 D ． m 1 或 m ≠ 2 [ 答案 ] B 椭圆的焦点三角形 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝ 1( a b 0 ) 上一点 P ， F 1 、 F 2 为椭圆的焦点，若 ∠ F 1 PF 2 ＝ θ ，求 △ F 1 PF 2 的面积 ． [ 解析 ] 由椭圆的定义，有 | P。