20xx北师大版选修1-1高中数学212椭圆的简单几何性质

20xx北师大版选修1-1高中数学212椭圆的简单几何性质内容摘要：

＝2 23. 课堂典例探究 求椭圆 9x2＋ 16y2＝ 144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [分析 ] 由题目可获取以下主要信息： ① 已知椭圆的方程； ② 研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． 椭圆的几何性质 [ 解析 ] 把已知方程化成标准方程x216＋y29＝ 1 ， 于是 a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 16 － 9 ＝ 7 ， ∴ 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a ＝ 8 和 2 b ＝ 6 ，离心率 e＝ca＝74， 两个焦点坐标分别是 ( － 7 ， 0) ， ( 7 ， 0) ， 四个顶点坐标分别是 ( － 4 , 0 ) ， ( 4 , 0 ) ， (0 ，－ 3) ， ( 0 , 3 ) ． [ 方法规律总结 ] 由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： ( 1 ) 化椭圆 方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上 ． ( 2 ) 由标准形式求 a 、 b 、 c ，写出其几何性质 ． 求椭圆 25x2＋ 16y2＝ 400的长轴长 、 短轴长 、 离心率 、 焦点坐标和顶点坐标 ． [ 答案 ] 长轴长 10 短轴长 8 离心率35 焦点 (0 ， 177。 3 ) 顶点 (0 ， 177。 5 ) ( 177。 4 ,0 ) [ 解析 ] 将方程变形为y225＋x216＝ 1 ，得 a ＝ 5 ， b ＝ 4 ，所以 c＝ 3 ，故椭圆的长轴和短轴的长分别为 2 a ＝ 1 0 , 2 b ＝ 8 ，离心率 e＝ca＝35，焦点坐标 F 1 (0 ，－ 3) ， F 2 ( 0 , 3 ) ，顶点坐标为 A 1 (0 ，－5) ， A 2 ( 0 , 5 ) ， B 1 ( － 4 ， 0) ， B 2 ( 4 , 0 ) . 利用椭圆的几何性质求标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ． ( 1 ) 椭圆过点 ( 3 , 0 ) ，离心率 e ＝63； ( 2 ) 在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8. [ 分析 ] 1. 求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定 a 、 b 、 c . 2 ． ( 1 ) 中由离心率 e ＝ca，及 a2＝ b2＋ c2可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数，再由过点 ( 3 , 0 ) 可求之 ． ( 2 ) 设短轴端点为 A ， F 为一个焦点，由条件知 △ O A F 为等腰直角三角形，于是 a 、 b 、 c 可求之 ． [ 解析 ] ( 1 ) 若焦点在 x 轴上，则 a ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝63， ∴ c ＝ 6 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 － 6 ＝ 3. ∴ 椭圆的方程为x29＋y23＝ 1. 若焦点在 y 轴上，则 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝ 1 －b2a2 ＝ 1 －9a2 ＝63， 解得 a2＝ 2 7 . ∴ 椭圆的方程为y227＋x29＝ 1. 综上可知椭圆方程为x29＋y23＝ 1 或y227＋x29＝ 1. ( 2 ) 设椭圆的方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 如图所示， △ A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线 ( 高 ) ， 且 | OF |＝ c ， | A1A2|＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 32 ， 故所求椭圆的方程为x232＋y216＝ 1. [ 方法规律总结 ] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为： ( 1 ) 确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程 的形式； ( 2 ) 确立关于 a 、 b 、 c 的方程 ( 组 ) ，求出参数 a 、 b 、 c ； ( 3 ) 写出标准方程 ． 离心率为35，长轴长为 10 的椭圆方程为 ( ) A.x225＋y216＝ 1 B.x225＋y216＝ 1 或y225＋x216＝ 1 C.x21 0 0＋y264＝ 1 D.x21 00＋y264或y21 0 0＋x264＝ 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由题意得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5 ，ca＝35， ∴ c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为x225＋y216＝ 1 ； 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为y225＋y216＝ 1 ，故选 B. 求椭圆的离心率 如图所示， F 1 ， F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率 ． [ 解析 ] 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a ， b ，c . 则焦点为 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ， M 点的坐标为 ( c ，23b ) ， 则 △ MF1F2为直角三角形 ． 在 Rt △ MF1F2中， | F1F2|2＋ | MF2|2＝ | MF1|2， 即 4 c2＋49b2＝ | MF1|2. 而 | MF1。