20xx北师大版选修1-1高中数学13全称量词与存在量词1

20xx北师大版选修1-1高中数学13全称量词与存在量词1内容摘要：

特称命题的步骤： 1． 首先判定语句是否为命题 ， 若不是命题 ， 就当然不是全称命题或特称命题 ． 2． 若是命题 ， 再分析命题中所含的量词 ， 含有全称量词的命题是全称命题 ， 含有存在量词的命题是特称命题 ． 3． 当命题中不含量词时 ， 要注意理解命题含义的实质 ． 4． 一个全称 (或特称 )命题往往有多种不同的表述方法 ， 有时可能会省略全称 (存在 )量词 ， 应结合具体问题多加体会 ． 判断下列语句是否是全称命题或特称命题 ． (1)有一个实数 a， a不能取对数； (2)若所有不等式的解集为 A， 则有 A⊆R； (3)三角函数都是周期函数吗。 (4)有的向量方向不定； (5)自然数的平方是正数 ． [答案 ] (1)(4)为特称命题 ， (2)(5)为全称命题 ， (3)不是命题 ． [解析 ] 因为 (1)(4)含在存在量词 ， 所以命题 (1)(4)为特称命题；又因为 “ 自然数的平方是正数 ” 的实质是 “ 任意一个自然数的平方都是正数 ” ， (2)含有全称量词 ， 故 (2)(5)为全称命题 ． (3)不是命题 . 全称命题与特称命题的真假判断 判断下列命题的真假： (1) p ：所有的单位向量都相等； (2) p ：任一等比数列 { a n } 的公比 q ≠ 0 ； (3) p ：存在 x 0 ∈ R ， x20 ＋ 2 x 0 ＋ 3 ≤ 0 ； (4) p ：存在等差数列 { a n } ，其前 n 项和 S n ＝ n2＋ 2 n － 1. [分析 ] 主要考查如何判断含有一个量词的命题的真假 ，具体用到以下知识： (1)什么是单位向量。 相等的向量是如何规定的。 (2)什么是等比数列。 其公比的意义是什么。 (3)不等式 x2＋ 2x＋ 3≤0的解的情况如何。 有解吗。 (4)等差数列有何特征。 其前 n项和公式是什么。 [ 解析 ] (1) p 是全称命题，是假命题 ． 若两个单位向量 e1， e2方向不相同时，显然有 | e1|＝ | e2|＝ 1 ，但 e1≠ e2. (2) p 是全称命题，是真命题 ． 根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项 an≠ 0 ，所以其公比 q ＝an ＋ 1an≠ 0( n ＝ 1,2,3 ， „ ) ． (3) p 是存在性命题，是假命题 ． 因为对于 所有的 x ∈ R ， x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ ( x ＋ 1)2＋ 2 ≥ 20 恒成立 ． (4) p 是存在性命题，是假命题 ． 对于任一等差数列 { a n }( 首项 a 1 ，公差 d ) ，其前 n 项和为：S n ＝ na 1 ＋12n ( n － 1) d ＝d2n2＋ ( a 1 －d2) n .因此不可能是 S n ＝ n2＋ 2 n－ 1 这种形式 ( 含常数式 ) ． [ 方法规律总结 ] 对于全称命题，若真，要证明其正确性，若假只需举一反例，对于存在性命题，若真，只要有一个元素满足即可；若假，全部否定才可以 ． 指出下列命题中 ， 哪些是全称命题 ， 哪些是特称命题 ， 并判断其真假 ． (1)至少有一个整数 ， 它既不是合数 ， 也不是素数； (2)存在 x∈ {x|x是无理数 }， x2是无理数； (3)任意的 x∈ R， 则 x2＋ 2x＋ 10. [解析 ] (1)由于整数 1既不是合数 ， 也不是素数 ， 所以特称命题 “ 至少有一个整数 ， 它既不是合数 ， 也不是素数 ” 是真命题 ． (2)由于 π是无理数 ， π2仍是无理数 ， 所以特称命题 “ 存在x∈ {x|x是无理数 }， x2是无理数 ” 是真命题 ． (3)x2＋ 2x＋ 1＝ (x＋ 1)2， 找不到一个 x使 x2＋ 2x＋ 10， 所以全称命题 “ 任意的 x∈ R， 则 x2＋ 2x＋ 1。