20xx高中数学北师大版必修5第3章3基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值ppt同步课件

20xx高中数学北师大版必修5第3章3基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值ppt同步课件内容摘要：

＋1a＋1ab ＝ 1 ＋a ＋ bab＋1ab ∵ a ＋ b ＝ 1 ， ∴ (1 ＋1a)(1 ＋1b) ＝ 1 ＋2ab 又 ∵ a 0 ， b 0 ， ∴ ab ≤ (a ＋ b2)2＝14， ∴1ab≥ 4 ，当且仅当 a ＝ b ＝12时取 “ ＝ ” ， ∴ (1 ＋1a)(1 ＋1b) ≥ 1 ＋ 2 4 ＝ 9. [方法总结 ] (1)利用均值不等式证明不等式 ， 关键是所证不等式中必须有 “ 和 ” 式或 “ 积 ” 式 ， 通过将 “ 和 ” 式转化为“ 积 ” 式或将 “ 积 ” 式转化为 “ 和 ” 式 ， 从而达到放缩的效果 ． (2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到 ． 已知 a 、 b 、 c 为正数，求证：b ＋ c － aa ＋c ＋ a － bb ＋a ＋ b － cc≥ 3. [ 证明 ] 左边＝ba＋ca－ 1 ＋cb＋ab－ 1 ＋ac＋bc－ 1 ＝ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) － 3. ∵ a ， b ， c 为正数， ∴ba＋ab≥ 2( 当且仅当 a ＝ b 时取 “ ＝ ” 号 ) ； ca＋ac≥ 2( 当且仅当 a ＝ c 时取 “ ＝ ” 号 ) ； cb＋bc≥ 2( 当且仅当 b ＝ c 时取 “ ＝ ” 号 ) ． 从而 (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) ≥ 6( 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取等号 ) ． ∴ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) － 3 ≥ 3. 即b ＋ c － aa＋c ＋ a － bb＋a ＋ b － cc≥ 3. 不等式的证明技巧 — 字母轮换不等式的证法 已知 a 、 b 、 c 是正实数 求证：bca＋acb＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 分析 ] 由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式． [ 证明 ] ∵ a 、 b 、 c 是正实数， ∴bca＋acb≥ 2bcaacb＝ 2 c ( 当且仅当bca＝acb，即 a ＝ b 时，取等号 ) ； acb＋abc≥ 2acbabc＝ 2 a ( 当且仅当acb＝abc，即 b ＝ c 时，取等号 ) ； abc＋bca≥ 2abcbca＝ 2 b ( 当且仅当bca＝abc，即 a ＝ c 时，取等号 ) ． 上面三个不等式相加得 2bca＋ 2acb＋ 2abc≥ 2 a ＋ 2 b ＋ 2 c ( 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，取等号 ) ． ∴bca＋acb＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 方法总结 ] 1. 使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立． 2 ．对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加 ( 乘 ) 得结论． 已知 a、 b、 c为两两不相等的实数。