20xx高中数学北师大版必修5第1章2等差数列第4课时等差数列的综合应用ppt同步课件

20xx高中数学北师大版必修5第1章2等差数列第4课时等差数列的综合应用ppt同步课件内容摘要：

的和的性质． (1) 若项数为 2 n ，则 S 偶 － S 奇 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2 n－ a1－ a3－ … － a2 n － 1 ＝ ( a2－ a1) ＋ ( a4－ a3) ＋ … ＋ ( a2 n－ a2 n － 1) ＝ d ＋ d ＋ … ＋ d ＝ nd . S 奇S 偶＝n2 a1＋ a2 n － 1n2 a2＋ a2 n＝2 an2 an ＋ 1＝anan ＋ 1＝中间相邻项之比． (2) 若项数为 2 n － 1 ，则由等差数列的性质： a1＋ a2 n － 1＝ a2＋ a2 n － 2＝ … ＝ 2 an， ∴ S 偶 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2 n － 2 ＝n － 12( a2＋ a2 n － 2) ＝n － 12 2 an＝ ( n － 1) an， S 奇 ＝ a1＋ a3＋ … ＋ a2 n － 1＝n2( a1＋ a2 n － 1) ＝n2 2 an＝ nan. ∴ S 奇 － S 偶 ＝ nan－ ( n － 1) an＝ an，这里 an＝ a 中 ，S 奇S 偶＝nan n － 1  an＝nn － 1＝奇数项与偶数项的项数之比． 熟悉并掌握性质，对我们解题大有裨益． (1)在项数为 2n＋ 1的等差数列中 ， 所有奇数项的和为 165，所以偶数项的和为 150， 则 n等于 ( ) A． 9 B． 10 C． 11 D． 12 (2)设 Sn为等差数列的前 n项和 ， 若 Sm＝ 40， S3m＝ 345， 则S2m＝ ________. [答案 ] (1)B (2)155 [ 解析 ] (1) 由S 奇S 偶＝ n ＋ 1   a1＋ a2 n ＋ 12n  a2＋ a2 n2＝n ＋ 1n＝165150. 解得： n ＝ 10. (2) ∵ Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m成等差数列， ∴ 2( S2 m－ Sm) ＝ Sm＋ S3 m－ S2 m， ∴ 2( S2 m－ 40) ＝ 40 ＋ 345 － S2 m. ∴ S2 m＝ 155. 在等差数列 {an}中 ， a1＝ 25， S17＝ n项和 Sn的最大值 ． [分析 ] 可先由已知条件求出公差 ， 进而得前 n项和公式 ，从而二次函数求最值的方法求解；也可以先求得通项公式 ， 再利用等差数列的性质求解 ． 等差数列前 n项和的最值问题 [ 解析 ] 解法一：由 S 17 ＝ S 9 ，得 25 17 ＋17  17 － 1 2d ＝ 25 9 ＋9  9 － 1 2d ， 解得 d ＝－ 2 ， 所以 S n ＝ 25 n ＋n  n － 1 2 ( － 2) ＝－ ( n － 13)2＋ 169. 由二次函数性质，得当 n ＝ 13 时， S n 取得最大值 169. 解法二：先求出 d ＝－ 2( 同解法一 ) ． ∵ a1＝ 250 ， d ＝－ 2 ， ∴ an＝ 25 － 2  n － 1  ≥ 0an ＋ 1＝ 25 － 2 n ≤ 0，得 n ≤ 1312n ≥ 1212. 即 1212≤ n ≤ 1312. ∴ 当 n ＝ 13 时， Sn取得最大值 S13＝ 13 25 ＋13  13 － 1 2 ( － 2) ＝ 169. 解法三：先求出 d ＝－ 2( 同解法一 ) ． 由 S 17 ＝ S 9 ，得 a 10 ＋ a 11 ＋ … ＋ a 17 ＝ 0. 而 a 10 ＋ a 17 ＝ a 11 ＋ a 16 ＝ a 12 ＋ a 15 ＝ a 13 ＋ a 14 ， 故 a 13 ＋ a 14 ＝ 0. ∵ d ＝－ 20 ， a 1 0 ， ∴ a 13 0 ， a 14 0. 故 n ＝ 13 时， S n 取得最大值 169. 解法四：先求出 d ＝－ 2( 同解法一 ) ． 由 d ＝－ 2 ，得 S n 的图像如图所示的曲线上均匀分布的点，由 S 17 ＝ S 9 ，知图像的对称轴 n ＝9 ＋ 172＝ 13. 所以，当 n ＝ 13 时， S n 取得最大值 169. [ 方法总结 ] 求等差数列的前 n 项和 Sn的最值通常有两种思路： (1) 将 Sn＝ na1＋n  n － 1 2d ＝d2n2＋ ( a1－d2) n 配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2) 邻项变号法： 当 a10 ， d 0 时，满足 an≥ 0 ，an ＋ 1。