2-2-2第2课时

2-2-2第2课时内容摘要：

＝x 1 ＋ x 22＝4 （ 2 k2－ k ）4 k2＋ 1. 解得 k ＝－12， 两式相减，得 (x12－ x22)＋ 4(y12－ y22)＝ 0， 即 (x1＋ x2)(x1－ x2)＋ 4(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 0. ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－（ x 1 ＋ x 2 ）4 （ y 1 ＋ y 2 ）＝－12， 即 k AB ＝－12. ∴ 所求直线方程为 y － 1 ＝－12( x － 2 ) ，即 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. 法三 设所求直线与椭圆的一交点为 A(x， y)， 则另一交点为 B(4－ x， 2－ y)． ∵ A、 B在椭圆上， ∴ x2＋ 4y2＝ 16， ① (4－ x)2＋ 4(2－ y)2＝ 16， ② 从而 A、 B在方程 ① － ② 的图形 x＋ 2y－ 4＝ 0上，而过 A、 B的直线只有一条， ∴ 所求直线的方程为 x＋ 2y－ 4＝ 0. (1)若点 P的坐标为 (0， 1)，求椭圆 C的标准方程； (2)若点 P的坐标为 (0， t)，求 t的取值范围． 题型 二 椭圆的综合问题 【 例 2】 如图，点 A 是椭圆 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1 ( a b 0 ) 的短轴位于 y 轴下方的端点，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B ，若 P 在 y 轴上，且 BP ∥x 轴， AB→ AP→＝ 9. [ 思路探索 ] 解答第 ( 1 ) 问的关键是由已知条件准确分析出 |AB→|与| AP→|的关系，再由向量的数量积得 |AP→|，从而用待定系数法求出椭圆 C 的方程，解答第 ( 2 ) 问的关键是利用 a2 b20 ，构造 t 的不等式解出 t 的范围 ． 解 ∵ 直线 AB 的斜率为 1 ， ∴∠ BAP ＝ 45 176。 ， 即 △ BAP 是等腰直角三 角形， |AB→|＝ 2 | AP→|. ∵ AB→ AP→＝ 9 ， ∴ |AB→|| AP→|c os 45 176。 ＝ 2 | AP→|2c os 45 176。 ＝ 9 ， ∴ |AP→|＝ 3. (2)由点 P的坐标为 (0， t)及点 A位于 x轴下方，得点 A的坐标为 (0， t－ 3)， ∴ t－ 3＝－ b，即 b＝ 3－ t. 显然点 B的坐标是 (3， t)，将它代入椭圆方程得： ( 1 ) ∵ P ( 0 ， 1 ) ， ∴ |OP→|＝ 1 ， | OA→|＝ 2 ， 即 b ＝ 2 ，且 B ( 3 ， 1 ) ． ∵ B 在椭圆上， ∴9a2 ＋14＝ 1 ，得 a2＝ 12 ， ∴ 椭圆 C 的标准方程为x212＋y24＝ 1. 规律方法 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式．这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件． 9a2 ＋t2（ 3 － t）2＝ 1 ，解得 a2＝3 （ 3 － t）23 － 2 t. ∵ a2 b20 ， ∴3 （ 3 － t）23 － 2 t ( 3 － t )2 0. ∴33 － 2 t1 ，即33 － 2 t－ 1。