2-2-2第1课时

2-2-2第1课时内容摘要：

( 5 ， 0 ) ， 顶点坐标为 A1( － 3 ， 0 ) ， A2( 3 ， 0 ) ， B1( 0 ，－ 2 ) ， B2( 0 ， 2 ) ，离心率 e ＝ca＝53. [思路探索 ] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数 a， b， c. 题型 二 由椭圆的几何性质求标准方程 【 例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ( 1 ) 长轴长是 10 ，离心率是45； ( 2 ) 在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 解 ( 1 ) 设椭圆的方程为 x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) 或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) ． 由已知得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5. e ＝ca＝45， ∴ c ＝ 4. ∴ b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 25 － 16 ＝ 9. ∴ 椭圆的标准方程为 x225 ＋y 29 ＝ 1 或x 29 ＋y 225 ＝ 1. ( 2 ) 依题意可设椭圆方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) ． 如图所示， △ A 1 FA 2 为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线 ( 高 ) ，且 |OF |＝ c ， |A 1 A 2 |＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 3 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 18 ， 故所求椭圆的方程为x218＋y29＝ 1. 规律方法 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程 (组 )求解，同时注意 a、 b、c、 e的内在联系以及对方程两种形式的讨论． 【 变式 2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 ． ( 1 ) 已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为12，焦距为 8. ( 2 ) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3 . 解 ( 1 ) 由题意知， 2 c ＝ 8 ， c ＝ 4 ， ∴ e ＝ca＝4a＝12， ∴ a ＝ 8 ， 从而 b2＝ a2－ c2＝ 48 ， ∴ 椭圆的标准方程是y264＋x248＝ 1. ( 2 ) 由已知 a ＝ 2 c ，a － c ＝ 3 ， ∴ a ＝ 2 3 ，c ＝ 3 .从而 b2＝ 9 ， ∴ 所求椭圆的标准方程为。