20xx北师大版选修1-1高中数学422最大值、最小值问题第2课时

20xx北师大版选修1-1高中数学422最大值、最小值问题第2课时内容摘要：

得的收益最大 ． ( 2 ) 设用于技术改造的资金为 x ( 百万元 ) ，则用于广告促销的资金为 (3 － x )( 百万元 ) ，又设由此获得的收益是 g ( x ) ，则有 g ( x )＝ ( －13x3＋ x2＋ 3 x ) ＋ [ － (3 － x )2＋ 5 ( 3 － x )] － 3 ＝－13x3＋ 4 x ＋ 3 (0 ≤ x ≤ 3) ， ∴ g ′ ( x ) ＝－ x2＋ 4. 令 g ′ ( x ) ＝ 0 解得 x ＝－ 2( 舍去 ) 或 x ＝ 2 ， 当 0 ≤ x 2 时， g ′ ( x ) 0 ， 当 2 x ≤ 3 时， g ′ ( x ) 0 ， 故 g ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上是增函数 ，在 [ 2 , 3 ] 上是减函数 ． 所以为 x ＝ 2 时， g ( x ) 取最大值，即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大 ． [ 方法规律总结 ] 利润最大、效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解 ． 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x ( 万件 ) 间的关系为p ＝ 16 － x， 0 x ≤ c ，23， x c ，( c 为常数，且 0 c 6 ) ． 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1 . 5 元 ． ( 1 ) 将日盈利额 y ( 万元 ) 表示为日产量 x ( 万件 ) 的函数； ( 2 ) 为使日盈利额最大，日产量应为多少万件。 ( 注：次品率＝次品数产品总数 1 0 0 %) [分析 ] (1)∵ p为 x的分段函数，故 y为 x的分段函数，由生产一件合格品盈利 3元，生产一件次品亏损 p，可得日盈利额 y关于日产量 x的函数，其关系为日盈利额＝合格产品盈利额－次品亏损额． (2)利用导数求最值时，应注意 c的范围． [ 答案 ] ( 1 ) y ＝ 3  9 x － 2 x22  6 － x ， 0 x ≤ c ，0 ， x c ，( c 为常数，且0 c 6 ) ( 2 ) 0 c 3 时，日产量 c 万件； 3 ≤ c 6 时，日产量 3 万件 [ 解析 ] ( 1 ) 当 x c 时， p ＝23， y ＝ (1 －23) x 3 －23 x 32＝ 0 ； 当 0 x ≤ c 时， p ＝16 － x， ∴ y ＝ (1 －16 － x) x 3 －16 － x x 32＝3  9 x － 2 x22  6 － x . ∴ 日盈利额 y ( 万元 ) 与日产量 x ( 万件 ) 的函数关系为 y ＝ 3  9 x － 2 x22  6 － x ， 0 x ≤ c ，0 ， x c ，( c 为常数，且 0 c 6。