20xx北师大版选修1-1高中数学411导数与函数的单调性

20xx北师大版选修1-1高中数学411导数与函数的单调性内容摘要：

( x ) 0( 或 f39。 ( x ) 0) 是不够的 ,还有可能 f39。 ( x ) = 0 也能使得 f ( x ) 在这个区间上单调 ,因而对于能否取得等号的问题需要单独验证 . 2 .解决本题时 ,应注意一个非常重要的转化 ,即 m ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ m ≥ f ( x ) m a x , m ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ m ≤ f ( x ) min . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 􀎥 变式训练 3 􀎥 设 f ( x ) = a x3+x 恰有三个单调区间 , 试确定 a 的取值范围 , 并求出单调区间 . 解 : f ( x ) 的定义域为 R , f39。 ( x ) = 3 ax2+ 1 . 若 a 0, 则 f39。 ( x ) 0, 即在 ( ∞ , + ∞ ) 上 f ( x ) 只有一个单调区间 ,与已知矛盾。 若 a= 0, 则 f ( x ) =x ,此时 , f ( x ) 也只有一个单调区间 ,与已知矛盾。 若 a 0, 则 f39。 ( x ) = 3 a 𝑥 +1 3 𝑎 𝑥 1 3 𝑎 . 综上可知 ,当 a 0 时 , f ( x ) 恰有三个单调区间 ,其中 f ( x ) 在区间 ∞ , 1 3 𝑎 , 1 3 𝑎, + ∞ 上是减少的 ,在区间 1 3 𝑎,1 3 𝑎 上是增加的 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 利用导数证明不等式 用导数证明不等式 f ( x ) g ( x ) 在 ( a , b ) 上成立的一般方法 : ( 1 ) 构造新函数 F ( x ) =f ( x ) g ( x ), x ∈ ( a , b )。 ( 2 ) 证明 F39。 ( x ) = f39。 ( x ) g39。 ( x ) ≥ 0, 且 F ( a ) ≥ 0。 ( 3 ) 由 F ( x ) 在 ( a , b ) 上递增 ,且 F ( x ) min =F ( a ) 得出结论 . 典型例题 4 证明 : 当 x 0 时 , x 𝑥36 s in x x . 思路分析 :构造函数 F ( x ) =x s in x 与 G ( x ) = s in x x+𝑥36,应用单调性证明 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 证明 :要证明 s in x x ( x 0 ) , 可先令 F ( x ) =x s in x ,易知 F ( 0 ) = 0 . 由于 F39。 ( x ) = 1 co s x ≥ 0 在 x 0 时恒成立 , 所以当 x 0 时 , F ( x ) 是增加的 . 从而有 F ( x ) F ( 0 ) = 0, 即 x s in x 0, x s in x . 为了证明 s in x x 𝑥36( x 0 ) , 令 G ( x ) = s in x x+𝑥36, 则有 G ( 0 ) = 0, G39。 ( x ) = co s x 1 +𝑥22=𝑥22 2 s in2𝑥2 = 2 𝑥2 2 sin𝑥2 2 . 因为 x s in x ( x 0 ) , 所以𝑥2 s in𝑥2( x 0) . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 当 0 x ≤ 2, 即 0 𝑥2≤ 1 时 , s in x 0 . 又𝑥2 s in𝑥2, 所以 G39。 ( x ) 0 . 当 x 2 时 ,𝑥2 1, 结合 sin𝑥2 ≤ 1, 可得 𝑥2 2 sin𝑥2 2, 即 G39。 ( x ) 0 . 综上可得 , G ( x ) 在 x 0 时是增加的 ,从而有 G ( x ) G ( 0 ) = 0, 即 s i n x x 𝑥36( x 0) . 将上述两个不等式合并 ,即得当 x 0 时 , 有 x 𝑥36 s in x x . 点评 构造函数 ,采用求导的方法 ,利用函数的单调性证明不等式 ,是证明不等式的常用方法 ,它是作差法的一个延伸 . ZHONGNAN TANJIU 重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 􀎥 变式训练 4 􀎥 当 0 xπ2时 , 求证 :tan x x+𝑥33. 证明 :设 f ( x ) = tan x 𝑥 +𝑥33 , 则 f39。 ( x ) = si n 𝑥c o s 𝑥 39。 𝑥 +𝑥33 39。 =co s2𝑥 + si n2𝑥co s2𝑥 1 x2 =si n2𝑥co s2。