（北师大）选修4-5数学 2.3.1《数学归纳法》ppt课件

（北师大）选修4-5数学 2.3.1《数学归纳法》ppt课件内容摘要：

1、 3 学归纳法学习目标 思维脉络 1 . 了解数学归纳法 , 理解数学归纳法的原理和实质 . 2 . 掌握用数学归纳法解证明题的两个步骤 , 并能灵活应用 . 对数学归纳法的理解(1)数学归纳法原理 :数学归纳法原理是设有一个关于 正整数 若当 1个值 又在假设当 该命题成立后可以推出 k+1个值 时该命题成立 ,则该命题对一切自然数 n (2)数学归纳法 :数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题 验证当 一个值 或 2等 )时命题正确 . 假设当 n=k N+,k 题正确 ,证明当 n=k+1时命题也正确 就可以断定命题对于从 探究一 探究二 探究三 探究四探究 一 用数学归纳法证明恒等问 2、题数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题 ,证明此类问题的关键在于第二步 ,它有一个基本格式 ,我们不妨设命题为 P(n):f(n)=g(n)已知 :f(k)=g(k),求证 :f(k+1)=g(k+1)(1)找出 f(k+1)与 f(k)的递推关系 ;(2)把归纳假设 f(k)=g(k)代入 ;(3)作恒等变形化为 g(k+1)探究一 探究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四点评用数学归纳法证明一个代数恒等式 ,解题前先要分析清楚等式两边的构成情况 将式子转化为与归纳假设的等式结构相同的形式 凑假设 经过恒等变形得到结论所需形式 凑结论 究二 探 3、究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四探究 二 用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除性问题时 ,第二步一般先将 n=k+1代入原式 ,然后将原式作适当的恒等变形 ,凑出归纳假设 ,这是证明的关键和难点 求证 :+(a+1)2a2+a+1整除 ,n N+对于多项式 A,B,如果 A=也是多项式 ,那么 整除 ,整除 ,则 A+B,整除 (1)当 n=1时 ,+(a+1)2 1-1=a2+a+1,命题显然成立 究二 探究三 探究四(2)假设 n=k(k N+,且 k 1)时 ,+(a+1)2a2+a+1整除 ,则当 n=k+1时 ,+(a+1)2k+1=a+(a+1)2( a+1)2 4、a+(a+1)2(a+1)2(a+1)2a+1)2a+(a+1)2(a2+a+1)(a+1)得上式中的两项均能被 a2+a+1整除 ,故 n=k+1时命题成立 1)(2)知 ,对 n N+,命题成立 凑项 ”,而采用增项、减项、拆项、因式分解等手段 ,凑出 n=从而利用归纳假设使问题得证 究二 探究三 探究四变式训练 2求证 :对任意正整数 n,34n+2+52n+1能被 14整除 (1)当 n=1时 ,34n+2+52n+1=36+53=854=14 61,能被 14整除 ,命题成立 .(2)假设当 n=即 34k+2+52k+1能被 14整除 ,那么当 n=k+1时 ,34(k+1)+2+ 5、52(k+1)+1=34k+2 34+52k+1 52=34k+2 34+52k+1 34 34+52k+1 52=34(34k+2+52k+1)(3434(34k+2+52k+1)52k+4k+2+52k+1能被 14整除 ,56也能被 14整除 ,所以 34(k+1)+2+52(k+1)+1能被 14整除 ,故命题成立 1)(2)知 ,命题对任意正整数 探究一 探究二 探究三 探究四探究 三 用数学归纳法证明几何问题对于几何问题的证明 ,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程 ,或者说体会出是怎样变化的 ,然后再去证明 ,也可以用 “递推 ”的方法来证明 f(k+1)与 f(k)之间的递推 6、关系 ,基本策略是 “往后退 ”,从 f(k+1)中将 f(k)分离出来 平面内有 任意两个圆都相交于两点 ,任意三个圆不相交于同一点 ,求证 :这 f(n)=个部分 (n N+)因为 f(n)为 那么再有一个圆和这 就有 2这些交点将增加的这个圆分成 2且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 ,因此 ,增加一个圆后 ,平面分成的区域数增加 2即f(n+1)=f(n)+数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 究二 探究三 探究四证明 :(1)当 n=1时 ,一个圆将平面分成两个部分 ,且 f(1)=1=2,所以 n=1时命题成立 .(2)假设当 n=k(k N+,且 k 1)时命题成立 ,即 f(k) 7、=个部分 ,则当 n=k+1时 ,在 k+1个圆中任取一个圆 O,剩下的 f(k)个部分 ,而圆 O与 这 2分成 2每段弧将原平面一分为二 ,故得 f(k+1)=f(k)+2k=+2k=(k+1)2-(k+1)+n=k+1时 ,命题成立 1)(2)可知 ,对一切 n N+,命题成立 f(k)到 f(k+1)增加了几个量 究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四探究一 探究二 探究三 探究四1 2 3 n N+,则可能被 13整除的是 ( )n +52n+ +3n+2解析 :当 n=1时 ,只有 3整除 2 3 42.凸 f(n)条对角线 ,则凸 (n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为 ( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+.f(n)+从凸 n+1)边形 ,对角线增加了 ( 2 3 41 2 3 41 2 3 4。