（人教A版）选修2-3数学 2.3.1《离散型随机变量的均值》ppt课件

（人教A版）选修2-3数学 2.3.1《离散型随机变量的均值》ppt课件内容摘要：

1、2 3 离散型随机变量的均值与方差2 散型随机变量的均值 自 主 预 习 学习目标 计算简单离散型随机变量的均值2理解离散型随机变量均值的性质3掌握两点分布、二项分布的均值4会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题 点是离散型随机变量均值的概念与计算方法2难点是离散型随机变量均值的性质及应用 离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X ( X ) 为随机变量 反映了离散型随机变量取值的 ： 随机变量的均值与样本的平均值有何区别。 提示： 随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样 2、本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值 2 离散型随机变量的均值的性质 若 Y b ，其中 a ， b 为常数，则 Y 也是随机变量且 P ( Y ax i b ) ， i 1,2 ， ， n ， E ( Y ) E ( b ) . P(X xi) ： 若 c 为常数， 则 E ( c ) 为何值。 提示： 由离散型随机变量的均值的性质 E ( b ) X ) b 可知，若 a 0 ，则 E ( b ) b ，即若 c 为常数，则 E ( c ) c . 3 两点分布与二项分布的均值 (1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ； (2) 若 X 服从二项分布，即 3、X B ( n ， p ) ，则 E ( X ) . 点 导 学 要点一 求离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值也称离散型随机变量的数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，随机变量 X 在分布列中的一切可能值 x ；与对应的概率 P ( X x i ) 的乘积的和就是随机变量 X 的均值 袋子里装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5 ，从中任取 3 个球，用 X 表示取出的球的最大号码，求 X 的分布列及E ( X ) 【思路启迪】 先求出 X 的分布列，然后根据均值的定义求 E ( X ) 【解】 由题意得 X 3,4,5. 当 X 3 时，只能是取 1,2,3 号球， P 4、( X 3) 110； 当 X 4 时，取出的球中一个是 4 号球，另外两个从 1,2,3 号中取， P ( X 4) 10； 当 X 5 时，取出的球中一个是 5 号球，另外两个从 1,2,3,4号中取， P ( X 5) 1035. X 的分布列为 X 3 4 5 P 11031035E ( X ) 3 110 4 310 5 3592. 求离散型随机变量 X 的均值的步骤： (1) 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2) 求出 X 取每个值的概率； (3) 写出 X 的概率分布 ( 有时可以略 ) ； (4) 由均值的定义求出 E ( X ) 甲、乙两人各自独立破译某个密码 5、，甲破译出密码的概率是23，乙破译出密码的概率是45，设破译出该密码的人数为 X ，求其数学期望 解： 设 A 、 B 分别为甲、乙破译出该密码的事件， X 的可能取值是 0,1,2. P ( X 0) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 1 231 45115； P ( X 1) P ( A B ) P ( A B ) 231 451 234525； P ( X 2) P ( P ( A ) P ( B ) 2345815. 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 11525815因此 E ( X ) 0 115 1 25 2 8152215. 要点二 离散型随机变量均值的 6、性质应用求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均 值的公式求解，对于 b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出 b 的分布列，再用定义求解 已知随机变量 X 的分布列如下： X 2 1 0 1 2 P 141315m 120(1) 求 m 的值； (2) 求 E ( X ) ； (3) 若 Y 2 X 3 ，求 E ( Y ) 【思路启迪】 解答本题可先由分布列的性质求出 m 的值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应 的期望值，而对于 (3) 可以直接利用公式 E ( Y ) E (2 X 3) 2 E ( X ) 3 ，也可以先写出 Y 的分布 7、列，再求 E ( Y ) 【解】 (1) 由随机变量分布列的性质，得 141315 m 120 1 ， 解得 m 16. (2) E ( X ) ( 2) 14 ( 1) 13 0 15 1 16 2 1201 730. (3) 方法一：由公式 E ( b ) X ) b ， 得 E ( Y ) E (2 X 3) 2 E ( X ) 3 2 1730 3 6215. 方法二：由于 Y 2 X 3 ， 所以 Y 的分布列如下： Y 7 5 3 1 1 P 14131516120所以 E ( Y ) ( 7) 14 ( 5) 13 ( 3) 15 ( 1) 161 1206215. 若给出的随机 8、变量 与 X 的关系为 b ， a ， b 为常数一般思路是先求出 E ( X ) ，再利用公式 E ( b ) X ) ( ) 也可以利用 的分布列得到 的分布列，关键由 的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E ( ) 已知随机变量 的分布列为 1 0 1 P 1213m 若 3 ， E ( ) 73，则 a ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析： 由分布列的性质得1213 m 1 ， m 16. E ( ) 1 12 0 13 1 1613. E ( ) E ( 3) ) 3 13a 3 73， a 2. 答案： B 要点三 与两点分布、二项分布有关的均值服从两点分 9、布的随机变量 X 的均值 E ( X ) p . 服从二项分布的随机变量 X 的均值 E ( X ) 即 X B ( n ， p ) ，则 E ( X ) 在实际问题中，准确判断变量是否服从两点分布、二项分布，以便借助公式求解 某 运动员投篮投中的概率 P (1) 求一次投篮时投中次数 的数学期望 (2) 求重复 5 次投篮时投中次数 的数学期望 【思路启迪】 (1) 中是两点分布 (2) 中是二项分布 【解】 (1) 的分布列为： 0 1 P 则 E ( ) 0 1 即一次投篮时投中次数 的数学期望为 (2) 服从二项分布，即 B (5, E ( ) 5 3 ， 即重复 5 次投篮时投中次数 10、 的数学期望为 3. 在解决有关均值问题时，同学们要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望，可以方便快捷地解决问题 一出租车司机从饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13. (1) 求这位司机遇到红灯前，已经通过了 2 个交通岗的概率； (2) 求这位司机在途中遇到红灯数 的数学期望 解： (1) 这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红 灯， P 1 13 1 1313427. (2) B6 ，13， E ( ) 6 13 2. 易错点：对随机变量取值的实际意义认识不清致误 某 11、人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验 3 次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为23，求此人试验次数 的期望 【错解】 试 验次数 的可能取值为 1,2,3 ， P ( 1) 23； P ( 2) 132329； P ( 3) 131323227. 所以 的分布列为 1 2 3 P 2329227所以 E ( ) 1 23 2 29 3 22743. 【错因分析】 上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 取值的意义， 1 表示第一次试验就成功， 2 表示第一次失败，第二次成功，由于实验最多进行 3 次，所以 3表示前两次失败，第三次可能成功也可能 12、失败 【正确解答】 试验次数 的可能取值为 1,2,3 ， P ( 1) 23； P ( 2) 132329； P ( 3) 1313 (2313) 19. 所以 的分布列为 1 2 3 P 232919 E ( ) 1 23 2 29 3 19139. 在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误另外，可以利用分布列的性质 (1) p i 0( i 1,2,3 ， ， n ) ， (2) i 1np i 1 来检验 盒中装有 5 节同品牌的五号电池，其中混有 2 节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止 (1) 求抽取次数 的分布列； (2) 求抽取次数 的均值 E ( ) 解： (1) 由题意知， 取值为 1,2,3. P ( 1) 35； P (。