（人教A版）选修2-3数学 1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》ppt课件

（人教A版）选修2-3数学 1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》ppt课件内容摘要：

1、1 杨辉三角 ”与二项式系数的性质 自 主 预 习 学习目标 项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力2理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用3理解和初步掌握赋值法 点是二项式系数的性质及其应用2难点是杨辉三角的基本性质的探索和发现过程 杨辉三角的特点 (1) 在同一行中每行两端都是 1 ，与这两个 1 等距离的项的系数 (2) 在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它 “ 肩上 ”两个数的 ，即 1 . 相等和 C r 1n C 问题思考 1 ： 二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗。 提示： 不是二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数实际上 2、二项式系数表中的第 n 行与杨辉三角中的第 n 1 行对应数值相等 2 二项式系数的性质 (1) 对称性与首末两端 的两个 ，它反映了组合数性质 . “等距离” 二项式系数相等C C n (2) 增减性与最大值当 k r ) 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _ 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 ： 3. 解析： 由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为 2 ： 3 ，即二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 2 ： 3 ，即n。 13。 n 13。 ：n。 14。 n 14。 2 ： 3 ，即14n 1323，解得n 34. 答案： 34 3、要点二 与二项展开式有关的求和问题求展开式 中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 1 或 1 ，但在解决具体问题时要灵活掌握 已知 (1 2 x )7 下列各式的值 (1) (2) (3) (4)| | | | 【思路启迪】 可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令 x 0 或 x 1 解决问题 【解】 令 x 1 ，则 1. 令 x 1 ，则 37. (1) 令 x 0 ，得 1 ，代入 中得： 2. (2) 由 得 2 2 2 2 1 37， 1 372 1 094. (3) 由 得 2 2 2 2 1 4、 37， 1 372 1 093. (4) 方法一 ： (1 2 x )7的展开式中 ， 而 | | | | ( ( 1 093 ( 1 094) 2 187. 方法二： | a 0 | | a 1 | | a 2 | | a 7 | 是 (1 2 x ) 7 展开式中各项的系数和， 令 x 1 ， | a 0 | | a 1 | | a 7 | 3 7 2 187. “ 赋值法 ” 是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋 给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x 0 可得常数项，令 x 1 可得所有项系数之和，令 x 1 可得偶次项系数之和与奇次项系 5、数之和的差 若 (1 x )6(1 2 x )5 a 0 a 1 x a 2 a 11 (1) a 1 a 2 a 3 a 11 . (2) a 0 a 2 a 4 a 10 . 解 ： (1) 由 (1 x )6(1 2 x )5 a 0 a 1 x a 2 a 11 令 x 1 ， 得 26 ( 1)5 a 0 a 1 a 2 a 3 a 11 ， 即 a 0 a 1 a 2 a 3 a 11 26 ， 又令 x 0 ， 得 a 0 1. 所以 a 1 a 2 a 3 a 11 26 1 65. (2) 令 x 1 ， 得 a 0 a 1 a 2 a 3 a 11 0 ， 由 2， 得 a 6、 0 a 2 a 4 a 10 12( 26 0) 32. 要点三 二项式系数性质的应用1. 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 间两项的二项式系 数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得 在 (3 x 2 y )20中，求： (1) 二项式系数最大的项； (2) 系数绝对值最大的项； (3) 系数最大的项 【思路启迪】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项 ( 或中间两项 ) 是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x ， 7、 y 的系数均考虑进去 【解】 (1) 二项 式系数最大的项是第 11 项 T 11 C 1020 3 10 ( 2) 10 x 10 y 10 C 1020 6 10 x 10 y 10 . (2) 设系数绝对值最大的项是第 r 1 项， 于是20 r2r 120319 r2r 1，20 r2r 120321 r2r 1，化简得3 r 1 2 20 r ，2 21 r 3 r ，解得 725 r 825. 因为 r N*，所以 r 8 ， 即 1228 (3) 由于系数为正的项为奇数项，且第 9 项的系数的绝对值最大，所以 1228 解决此类问题，要注意 “ 展开 式中系数最大 ”“ 二项式 8、系数最大 ” 以及 “ 系数绝对值最大 ” 的区别 已知 ( x 3 x2)项系数和与它的二项式系数和的比为 32. (1) 求展开式中二项式系数最大的项； (2) 求展开式中系数最大的项 解： 令 x 1 ， 则展开式中各项系数和为 (1 3)n 22 n. 又展开式中二项式系数和为 2n， 22 2n 32 ， n 5. (1) n 5 ，展开式共 6 项， 二项式系数最大的项为第三、四两项， T 3 x )3(3 90 T 4 x )2(3 270 x . (2) 设展开式中第 k 1 项的系数最大， 则由 1 x )5 k(3 x2)k 3 得33k 1 15，33k 1 15，72 9、k 92， k 4 ， 即展开式中系数最大的项为 x )(3 405 x . 易错点：二项式系数与项的系数混淆致误 已知 (1 2 x )50 a 0 a 1 x a 2 a 50 a 1 a 2 a 50 的值 【错解】 由二项展开式的系数的性质可知： ( a b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n ，显然， a 0 就是展开式中的 C 050 1 ，因此 a 1 a 2 a 50 的值为 2 50 1. 【错因分析】 上述解答忽略了 a 0 ， a 1 ， a 2 ， ， a 50 是项的系数，而不是二项式系数 【正确解答】 由二项展开式的结构特征， a1， ， 不是二项式系数 10、观察式子特征，如果 x 1 ，则等式右边为 现所求式子的形式，而 050 1 ，因此 (1 2 1)50 即 1 1 所以 0. 正确区别二项式系数和与各项系数和这是二项式定理的一个典型应用 赋值法，在使用赋值法时，令 a 、 b 等于多少，应就具体问题而定，有时取 “ 1 ” ，有时取 “ 1 ” ，或其他值 已知在 (1 x )项的二项式系数之和是 64 ，则 (2 x 1)n(1 2 的展开式中， _ _ 解析： 由题意得 2n 64. 所以 n 6. 故 (2 x 1)n(1 2 (1 2 x )6(1 2 ， 展开式中 2 x )4 1 2 x )2( 2 120 故其系数为 120. 答案： 12 0 1 “ 赋值法 ” 是解决二项展开式中各项的系数的和的常用方法，常用赋值数字是 0,1 ， 1. 2 求展开式的某一项，某一项的二项式系数，某一项的系数是三类不同的问题，要注意区别 3 求二项式系数最大的项时，要特别注意 n 的奇偶性， 间两项的二项式系数最大； n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 4 二项展开式中各项的系数的最大、最小值要利用通项的系数公式列不等式组求解 1 在 ( a b ) 2 项与第 6 项的二项式系数相等，则 n ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析： 由已知 C 1n C 5n ，可知 n 1 5 6. 答案： A。