3-2第2课时

3-2第2课时内容摘要：

. ∴ A1O→⊥ BD→， ∴ Α1O ⊥ BD . 同理可证， A1O→⊥ OG→， ∴ A1O ⊥ OG . 又 ∵ OG ∩ BD ＝ O ，且 A1O ⊄ 面 GB D ， ∴ A1O ⊥ 面 GB D . 法二 如图取 D为坐标原点， DA、DC、 DD1所在的直线分别作 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为 2， 则 O(1， 1， 0)， A1(2， 0， 2)， G(0，2， 1)， B(2， 2， 0)， D(0， 0， 0)， ∴ OA 1→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， OB→＝ ( 1 ， 1 ， 0 ) ， BG→＝ ( － 2 ， 0 ， 1 ) ， 而 OA 1→ OB→＝ 1 － 1 ＋ 0 ＝ 0 ， OA 1→ BG→＝－ 2 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 0. ∴ OA 1→⊥ OB→， OA 1→⊥ BG→，即 OA 1→⊥ OB→， OA 1 ⊥ BG ， 而 OB∩BG＝ B，且 A1O⊄面 GBD， ∴ OA1⊥ 面 GBD. 法三 同方法二建系后，设面 GBD的一个法向量为 n＝ (x，y， z) 则BG→ n ＝ 0 ，BD→n ＝ 0 ，∴－ 2 x ＋ z ＝ 0 ，－ 2 x － 2 y ＝ 0 ， 令 x ＝ 1 得 z ＝ 2 ， y ＝－ 1 ， ∴ 平面 G B D 的一个法向量为 ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， 显然 A1O→＝ ( － 1 ， 1 ，－ 2 ) ＝－ n ， ∴ A1O→∥ n ， ∴ A1O ⊥ 面 G B D . 规律方法 向量法证明线面平行的关键是熟练掌握证明线面垂直的向量方法，准确求解各点坐标或用基向量表示所需向量． 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中， E、 F分别是 BB D1B1的中点． 求证： EF⊥ 平面 B1AC. 【 变式 2】 证明 法一 设 AB→＝ a ， AD→＝ c ， AA1→＝ b ， 则 EF→＝ EB1→＋ B1F→＝12( BB1→＋ B1D1→) ＝12( AA1→＋ BD→) ＝12( AA1→＋ AD→－ AB→) ＝12( － a ＋ b ＋ c ) ， ∵ AB1→＝ AB→＋ AA1→＝ a ＋ b . ∴ EF→ AB1→＝12( － a ＋ b ＋ c ) ( a ＋ b ) ＝12( b2－ a2＋ c a ＋ c b ) ＝12( |b |2－ |a |2＋ 0 ＋ 0 ) ＝ 0. ∴ EF→⊥ AB1→，即 EF ⊥ AB1，同理， EF ⊥ B1C . 又 AB1∩ B1C ＝ B1， ∴ EF ⊥ 平面 B1AC . 法二 设正方体的棱长为 2，以 D为原点，以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的。