四年级华数思维训练导引 组合问题　构造与论证

四年级华数思维训练导引 组合问题　构造与论证内容摘要：

2、9 之间的所有整数：1，2，9，6，6，6，9，9，9。 （3）除1，2，6 之外，还可以标出 1，4，7 这 3 个刻度线：1，9，4，4，9，7，7，9，9。 另外，与 1，2，6 对称的，标出 3，7，8；与 1，4，7 对称的，标出2，5，8 也是可以的。 2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。 例如，241 被 352 吃掉，123 被 123 吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互相都不能被吃掉。 现请你设计 6 个三位数，它们当中任何一个都不能被其它 5 个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取 3、1，2，3，4。 问这6 个三位数分别是多少。 分析：6 个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有 2 个数位相同。 由于百位只取 1，2，十位只取 1，2，3，所以，只能让 3 个数百位是 1，另外 3 个数百位数是 2。 百位是 1 的 3 个数，分别配上十位 1，2，3；百位是 2 的 3 个数同样。 这样先保证前两位没有完全一样的。 即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。 11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外 5 个数个位均小于 4。 11412*较小，个位应取 3，它要求前两位能吃 12*的数，个位小于 3。 12313*个位取 2，就不能吃前两数，同时它要求前两位 5、长这 6 个因子，即不能有重复因子出现。 但是这种情况并不能保证出现。 例如，盒子中有 4 种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3 种颜色和 3 种规格都齐全，由于红和黄只出现 1 次，必须选，但是这时短已经出现 2 次，必然无法满足 3 支笔6 个因子的要求。 所以，不一定能选出。 4、一个立方体的 12 条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的。 分析：立方体的 12 条棱位于它的 6 个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有 3 条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。 如图就是一种。 5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个 7、 B=1，A+C+D=3，小于 4，矛盾，可得：E=0，A 大于 0 小于 4； 若 D 大于 0，如 D=1，则B 大于 0，因 A 大于 0，则 A 和 C 无法填写，所以 D=0，A 必等于 2； A=2，可知 B+C=3，只有当 B=1，C=2 时，1200，符合要求。 所以第二行的 5 个数字是 2，1，2，0，0。 7、在 100 个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。 请你设计一种方案，使得只需打电话 196 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。 分析：给 100 个人分别编号 1们知 9、，每个方格都涂上红、蓝两色之一。 能否适当涂色，使得每个 34 小长方形（不论横竖）的 12 个方格中都恰有 4 个红格和 8 个蓝格。 分析：能。 34=12，有 4 红 8 蓝，即红 1 蓝 2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。 9、桌上放有 1993 枚硬币，第一次翻动 1993 枚，第二次翻动其中的 1992 枚，第三次翻动其中的 1991 枚，依此类推，第 1993 次翻动其中的一枚。 能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上。 分析：可以。 按要求一共翻动 1+2+3+1993=1993997，平均每个硬币翻 997 次，是奇数。 而每个硬币翻奇数次，结果都 10、是把原来朝下的一面翻上来。 因为：1993997=1993+（1992+1）+（1991+2）+（997+996） 所以，可以这样翻动： 第 1次翻 1993 个，每个全翻 1 次； 第 2 次与第 1993 次（最后 1 次）一共翻 1993 次，等于又把每个翻了一遍； 第 3 次与第 1992 次（倒数第 2 次），第 4 次与第 1991 次，第997 次与第 998 次也一样，都可以把每个硬币全翻 1 次。 这样每个都翻动了 997 次，都把原先朝下的一面翻成朝上。 10、能否在 55 方格表的各个小方格内分别填入数 1，2，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其 12、12、在 99 枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。 已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于 99 枚真币的重量。 今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。 分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99 个硬币总重量恰等于 99 枚真币的重量，说明伪币数为偶数。 如果拿出 1 个真币，剩下的 98 个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。 如果拿出 1 个伪币，剩下的 98 个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。 所以，只要把 98 个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是 14、那么 M+N 为偶数。 得出的结果是：X+Y+M+N 之和为奇数。 矛盾。 说明没有平局的假设不成立。 所以，比赛过程中至少有一次平局。 14、如图 10 33 的方格表中已经填入了 9 个整数。 如果将表中同一行同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作。 问：你能否通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数。 分析：不能。 如果进行操作后，表中 9 个数能变为相同的数，其和必能整除 3；因为每次操作是同一行或同一列的 3 个数加上相同的整数，增加的数也能整除 3。 那么，原来表中的 9 个数的和也必能整除 3。 把表中的 9 个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100 不 15、能整除 3，与假设矛盾，所以不能实现。 15、今有长度为 1，2，3，198，199 的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成 （1）一个正方体框架。 （2）一个长方体框架。 分析：（1）不能。 正方体有 12 条棱，金属杆长度之和能被 12 整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。 1+2+3+199=19900，1+9+9=19，19 不能整除 3，所以长度之和不是 12 的整数倍。 （2）可以。 （1+198）+（2+197）+（3+196）+199，可以组成 100 个 199，所以可以构成一个长19912，宽 19912，高 199 的长方体框架，棱长共（19912+19912+199）4=199100；也可以构成一个长 19920，宽 1993，高 1992 的长方体框架，棱长共（19920+1993+1992）4=199100；等等。