北师大版高中数学选修1-211回归分析

北师大版高中数学选修1-211回归分析内容摘要：

此时 x 与 y 之间有确定性的线性关系。 如 图 （ d） 所示。 图５—４ ( a)R2 = 0xy 图 (a) x 图5—4(b)R2 = xy 图 (b) x 图5—4(c)R = xy 图 (c) x 图5—4(d)R2 = 1xy 图 (d) x 图5—4(e)R2 = 0xy 图 (e) x 从上述讨论可以看出 ， 相关系数 r 表示两个随机变量 x 与 y 之间线性相关的密切程度。 ｜ r｜ 越大 ， 愈接近于 1， x 与 y 之间的线性相关也就愈密切。 但必须指出 ， 相关系数 r 只表示线性相关的密切程度 ， 当 r 很小 ， 甚至等于零时 ， 并不一定说明 x 与 y 之间就不存在其它关系。 如 图 515(e)所示 ， 虽然 r = 0， 但从散点分布看 ， x 与 y 之间存在着明显的曲线关系 ， 只不过这种关系不是线性关系罢了。 相关系数的绝对值究竟多大才能认为两个变量是相关的呢。 或回归方程才有意义呢。 → F检验： 假设： H0： b = 0， F为： 残回残差平方和回归平方和ffF//（ 5—34） 可见 r 检验与 F 检验的作用是一致的 ， 只用一种即可。 可查表得出 F（ 1， m－ 2） ， 当： F＞ 特别显著； ＞ F＞ 时 ， 显著； ＞ F＞ 时 ， 较显著； F＞ 时 ， 不显著。 （ 1）先把数据在 Excel中成列输入到电子表格中； （ 2）点击下拉菜单的“ 工具 ”按钮，鼠标箭头移动到“ 数据分析 ”项下，点击左键，出现数据分析对话框，在对话框中选择“ 回归 ”，点击“ 确定 ”按钮，出现回归对话框，按对话框中的提示，选择对话框中的某些功能，即可得出与直线回归有关的很多参数。 （ 3）利用计算出的参数，即可写出回归方程。 利用 Excel在计算机中进行线性回归的方法 2 曲线回归 在实际问题中 ， 变量之间常常不是直线关系。 这时 ， 通常是选配一条比较接近的曲线 ， 通过变量变换把非线性方程加以线性化 ， 然后对线性化的方程应用最小乘法求解回归方程。 最小二乘法的一个前提条件是函数 y = f（ x） 的具体形式为已知 ， 即要求首先确定 x 与 y 之间内在关系的函数类型。 函数的形式可能是各种各样的 ， 具体形式的确定或假设 ， 一般有下述两个途径：一是根据有关的物理知识 ， 确定两个变量之间的函数类型；二是把观测数据划在坐标纸上 ， 将散点图与已知函数曲线对比 ， 选取最接近散点分布的曲线公式进行试算。 常见的一些非线性函数及其线性化方法如下。 曲线回归 xbay 1（ 1）双曲线， 型，见 图。 bvauxvyu  则令 ,1,1（ 2） 指数曲线 ， ， 见 图。 型bxaey bvcuacxvyu  则令 ,ln,ln （ 3） 指数曲线 ， ， 见 图。 型xbaey /bvcuacxvyu  则令 ,ln,/1,ln （ 4） 幂函数曲线 ， ， 见 图。 型baxy bvcuacxvyu  则令 ,lg,lg,lg图 (a) 双曲线 ( a ) a 0, b 04 2 0 2 4 6 8 10 12 14xy图 (b) 双曲线 (b) a 0, b 0 xy图 (a) 指数曲线 ( a ) b 005101520251 0 1 2xy图 (b) 指数曲线 (b) b00246810121 0 1 2xy图 (a) 指数曲线 ( a ) b0010203040506070800 1 2 3 4xy图 (b) 指数曲线 ( b ) b0024681012141618200 1 2 3 4 5 6 7 8xy图 (a) 幂函数曲线 ( a ) b0 xyb 10 b 1 b = 1 图 (b) 幂函数曲线 (b) b0 xyb － 1 b=－ 1 － 1 b 0 （ 5） 对数曲线 ， ， 见 图。 型xbay lgbvauxvyu  则令 ,lg, （ 6） S曲线 ， ， 见 图。 型xbeay  1bvauevyu x   则令 ,1 （ 7 ） 对 数 抛 物 曲线 ， ， 见 图。 型2)( l n)( l nln xcxbay 2,ln,ln cvbvauxvyu  则令图 (a) 对数曲线 ( a ) b010xy图 (b) 对数曲线 (a) b020 xy图 S曲线 06xy图 (a) 对数抛物线 70xyb 0, c 0 50xy图 (b) 对数抛物线 b 0, c 0 如上所述 ， 许多曲线都可以通过变换化为直线 ， 可以按直线拟合的办法来处理。 必须注意。 所配曲线的回归中 ， r、 S、 F 等的计算稍有不同。 u、 v 等仅仅是为了变量变换 ， 使曲线方程变为直线方程 ， 然而要求的是所配曲线与观测数据拟合较好 ， 所以计算 r、 S、 F 等时 ，应首先根据已建立的回归方程 ， 用 xi 依次代入 ， 得到 yi 后再计算 残差平方和 及总平方和 ， 于是： miii yy12)ˆ( mii yy12)(21212)()ˆ(1miimiiyyyyR （ 5—36） 2)ˆ(12myySmiii （ 5—37） 残回残差平方和回归平方和ffF//（ 5—38） 下面举例说明曲线回归的一般计算方法。 例 炼钢厂出钢用钢包在使用过程中 ， 由于钢液及炉渣对耐火材料的浸蚀 ， 其容积不断增大。 钢包的容积 （ 用盛满钢水的重量 kg 表示 ） 与相应的使用次数列于 表 54中。 求： x、 y之间的关系式： 表 54 试验数据 使用次数 x 2 3 4 5 7 8 10容积 y 1 0 6 . 4 2 1 0 8 . 2 0 1 0 9 . 5 8 1 0 9 . 5 0 1 1 0 . 0 0 1 0 9 . 9 3 1 1 0 . 4 9使用次数 x 11 14 15 16 18 19容积 y 1 1 0 . 5 9 1 1 0 . 6 0 1 1 0 . 9 0 1 1 0 . 7 6 1 1 1 . 0 0 1 1 1 . 2 0 解： 首先按实测数据做散点图 ， 如 图。