第2章-21-211椭圆及其标准方程

第2章-21-211椭圆及其标准方程内容摘要：

b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) ． ∵ 椭圆经过两点 ( 2 , 0 ) ， ( 0 , 1 ) ， ∴ 0a2 ＋4b2 ＝ 1 ，1a2 ＋0b2 ＝ 1.则 a ＝ 1 ，b ＝ 2.与 a ＞ b 矛盾，故舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋ y2＝ 1. 法二 设椭圆方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ． ∵ 椭圆过 ( 2 , 0 ) 和 ( 0 , 1 ) 两点， ∴ 4 m ＝ 1 ，n ＝ 1 ，∴ m ＝14，n ＝ 1 ， 故所求椭圆方程为x24＋ y2＝ 1. 1 ． 求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出 a2， b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量． 2 ．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m ≠ n ，m ＞ 0 ， n ＞ 0) ．因为它包括焦点在 x 轴上 ( m ＜ n ) 和焦点在 y 轴上 ( m＞ n ) 两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． 本例 ( 2 ) 若改为 “ 经过 ( － 2 3 ， 1) 和 ( 3 ，－ 2) 两点 ” ，其他条件不变，试求椭圆的标准方程． 【解】 设椭圆的标准方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ， 将点 ( － 2 3 ， 1) ， ( 3 ，－ 2) 代入上述方程得 12 m ＋ n ＝ 1 ，3 m ＋ 4 n ＝ 1 ， 解得 m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝ 1. 求与椭圆有关的轨迹方程 求过点 P ( 3 , 0 ) 且与圆 x 2 ＋ 6 x ＋ y 2 － 91 ＝ 0 相内切的动圆圆心的轨迹方程． 【思路探究】 ( 1 ) 两圆内切时圆心距与两圆的半径的关系是什么。 ( 2 ) 椭圆的定义是什么。 【自主解答】 将点 ( 3 , 0 ) 代入 x2＋ 6 x ＋ y2－ 91 ＝－ 64 ＜ 0 ，所以点 P 在圆内，圆方程配方整理得 ( x ＋ 3)2＋ y2＝ 102，圆心为 C1( －3 , 0 ) ，半径为 R ＝ 1 0 . 设所求动圆圆心为 C ( x ， y ) ，半径为 r ，依题意有 |PC |＝ r ，|CC1|＝ R － r ，消去 r 得 R － |PC |＝ |CC1|⇒ |PC |＋ |CC1|＝ R ，即|PC |＋ |CC1|＝ 1 0 . 又 P ( 3 , 0 ) ， C1( － 3 , 0 ) ，且 |PC1|＝ 6 ＜ 1 0 . 可见动圆圆心 C 的轨迹是以 P ， C1为两焦点的椭圆，且 c ＝ 3 , 2 a ＝ 10 ，所以 a ＝ 5 ，从而 b＝ 4 ，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝ 1. 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 已知 A－12， 0 ， B 是圆 F ：x －122＋ y2＝。