第2章-21-222双曲线的几何性质

第2章-21-222双曲线的几何性质内容摘要：

By ＝ 0 ，为避免讨论，可设双曲线方程为 A2x2－ B2y2＝ λ ( λ ≠ 0) 或x2B2 －y2A2 ＝ λ ( λ ≠ 0) 的形式，从而使运算更简捷． 3 ．与双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 共渐近线的双曲线方程可设为x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． ( 1 ) 已知双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 的一个焦点与圆 x2＋ y2－ 10 x ＝ 0 的圆心重合，且双曲线的离心率等于 5 ，则该双曲线的标准方程为 ( ) A.x25－y220＝ 1 B.x225－y220＝ 1 C.x220－y25＝ 1 D ．x220－y225＝ 1 ( 2 ) 已知双曲线的渐近线方程为 y ＝ 177。 12 x ，且经过点 A (2 ，－ 3) ，则双曲线的标准方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 由已知圆心坐标为 ( 5 , 0 ) ，即 c ＝ 5 ，又ca＝ 5 ， ∴a2＝ 5 ， b2＝ 20 ， ∴ 双曲线的标准方程为x25－y220＝ 1. ( 2 ) 由双曲线的渐近线方程为 y ＝ 177。 12x ，可设双曲线方程为x222 －y2＝ λ ( λ ≠ 0) ． ∵ A (2 ，－ 3) 在双曲线上， ∴2222 － ( － 3)2＝ λ ，即 λ ＝－ 8. ∴ 所求双曲线的标准方程为y28－x232＝ 1. 【答案】 ( 1 ) A ( 2 ) y28 －x 232 ＝ 1 求双曲线的离心率 分别求适合下列条件的双曲线的离心率． ( 1 ) 双曲线的渐近线方程为 y ＝ 177。 32x ； ( 2 ) 双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 ( 0 ＜ a ＜ b ) 的半焦距为 c ，直线 l 过 ( a, 0) ， (0 ，b ) 两点，且原点到直线 l 的距离为34c . 【思路探究】 ( 1 ) 由渐近线方程能得到 a ， b ， c 的关系吗。 利用这种关系能求出离心率吗。 ( 2 ) 由题意你能得到关于 a ， b ， c 的什么关系式。 【自主解答】 ( 1 ) 若焦点在 x 轴上，则ba＝32， ∴ e ＝b2a2 ＋ 1 ＝132； 若焦点在 y 轴上，则ab＝32，即ba＝23， ∴ e ＝b2a2 ＋ 1 ＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. ( 2 ) 依题意，直线 l ： bx ＋ ay － ab ＝ 0. 由原点到 l 的距离为34c ，得aba2＋ b2＝34c ， 即 ab ＝34c2， ∴ 16 a2b2＝ 3( a2＋ b2)2， 即 3 b4－ 10 a2b2＋ 3 a4＝ 0 ， ∴ 3(b2a2 )2－ 10 b2a2 ＋ 3 ＝ 0. 解得b2a2 ＝13或b2a2 ＝ 3. 又 ∵ 0 ＜ a ＜ b ， ∴b2a2 ＝ 3. ∴ e ＝ 1 ＋b2a2 ＝ 2. 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到 a ， b ， c 的关系式，再根据 c2＝ a2＋ b2，直接求 a ， c 的值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的 ( 2 ) 中，要注意条件 0 ＜ a ＜ b 对离心率的限制 ，以保证题目结果的准确性．。