高教版中职数学拓展模块21椭圆2

高教版中职数学拓展模块21椭圆2内容摘要：

c ，即 c2＋ 2 ac －a2＞ 0 ，所以 e2＋ 2 e － 1 ＞ 0 ，解得 e ＜－ 2 － 1 或 e ＞ 2 － 1. 又 e∈ ( 0 , 1 ) ，故椭囿的离心率 e ∈ ( 2 － 1 , 1 ) ． 1 、 点与椭圆的位置关系 点 P ( x0， y0) 与椭圆x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 的位置关系： 点 P 在椭圆上 ⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 点 P 在椭圆内部 ⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 点 P 在椭圆外部 ⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x 20a 2 ＋y 20b 2 ＝ 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 2 ．直线与椭圆的位置关系 直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的位置关系判断方法：由 y ＝ kx ＋ m ，x2a2 ＋y2b2 ＝ 1.消去 y ( 或 x ) 得到一个一元二次方程 . 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ____0 相切 一解 Δ____0 相离 无解 Δ____0 ＝ 3 . 直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k ，直线与椭圆两交点为 A ( x1，y1) ， B ( x2， y2) ，则 | AB |＝ 1 ＋ k2______ __ __ ＝1 ＋1k2 ______ ___ __ ，一般地， | x 1 － x 2 | ＝ x1＋ x22－ 4 x1x2用根与系数关系求解． |x1－ x2| |y1－ y2| 4 ．中点弦问题常用 “ 点差法 ” 求解，即 P ( x0，y0) 是弦 AB 的中点， A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，将 A 、B 坐标代入椭圆方程，并两式相减结合 x1＋ x2＝2 x0， y1＋ y2＝ 2 y0，及y2－ y1x2－ x1＝ k 求解． 题型一、直线与椭圆的位置关系的判定 例 1 （ 1 ） 判断直线 y ＝ x －12与椭圆 x2＋ 4 y2＝ 2的位置关系 ． （ 2 ） 当 m 为何值时，直线 y ＝ x ＋ m 与椭圆x24＋y2＝ 1 相交、相切、相离。 （ 1 ） 解 ： 联立方程组得 y ＝ x －12，x2＋ 4 y2＝ 2 ，消去 y ，整理得 5 x2－ 4 x － 1 ＝ 0 ， Δ ＝ ( － 4)2－ 4 179。 5 179。 ( － 1) ＝ 36 ＞ 0 ，即方程有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭囿相交． （ 2 ） 解 联立方程组得 y ＝ x ＋ m ， ①x24＋ y2＝ 1 ， ② 将 ① 代入 ② 得x24＋ ( x ＋ m )2＝ 1 ，整理得 5 x2＋ 8 mx ＋ 4 m2－ 4 ＝ 0 ③ Δ ＝ (8 m )2－ 4 179。 5 ( 4 m2－ 4) ＝ 1 6 ( 5 － m2) ． 当 Δ ＞ 0 ，即－ 5 ＜ m ＜ 5 时，方程 ③ 有两个不同的实数根，代入 ① 可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭囿相交；当 Δ ＝ 0 ，即 m ＝－ 5 或 m ＝ 5 时，方程 ③ 有两个相等的实数根，代入 ① 可得到一个公共点坐标，此时直线与椭囿相切；当 Δ ＜ 0 ，即m ＜－ 5 或 m ＞ 5 时，方程 ③ 没有实数根，直线与椭囿相离． 变式训练 1 、 已知椭圆 4 x2＋ y2＝ 1 及直线 y ＝ x＋ m . (1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2 ) 求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程． 解 、 (1) 由 4 x2＋ y2＝ 1 ，y ＝ x ＋ m .消去 y 得， 5 x2＋ 2 mx ＋m2－ 1 ＝ 0 ， ∵ 直线与椭圆有公共点， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20( m2－ 1) ≥ 0 ， 解得－52≤ m ≤52. ( 2 ) 设直线与椭囿交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ．由 ( 1 ) 知 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1＝ 0. 由根与系数的关系得 x1＋ x2＝－25m ， x1x2＝m2－ 15. ∴ | AB | ＝  x1－ x22＋  y1－ y22＝  x1－ x22＋  x1＋ m － x2－ m 2 ＝ 2  x1－ x22＝ 2[  x1＋ x22－ 4 x1x2] ＝ 2[4 m225－45 m2－ 1  ] ＝2510 － 8 m2. ∵ Δ ＝ 4 m2－ 2 0 ( m2－ 1 ) 0 ， ∴ －52 m 52. ∴ 当 m ＝ 0 时， | AB |最大，此时直线方程为 y。