高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第三章322二

高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第三章322二内容摘要：

系． 设正方体棱长为 2 ， 则 O ( 1,1,0) ， A 1 ( 2,0,2) ， G ( 0,2,1) ， B ( 2,2,0 ) ， D ( 0,0,0) ， ∴ OA 1→＝ (1 ，－ 1,2) ， OB→＝ ( 1,1,0) ， BG→＝ ( － 2,0,1) ， 而 OA 1→OB→＝ 1 － 1 ＋ 0 ＝ 0 ， OA 1→BG→＝－ 2 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 0. ∴ OA 1→ ⊥ OB→ ， OA 1→ ⊥ BG→ ，即 OA 1 ⊥ OB ， OA 1 ⊥ BG ， 而 OB ∩ BG ＝ B ， ∴ OA 1 ⊥ 平面 G B D . 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 方法二 同方法一建系后，设面 GBD 的一个法向量为 n ＝( x ， y ， z ) ，则 BG→ n ＝ 0BD→ n ＝ 0， ∴ － 2 x ＋ z ＝ 0－ 2 x － 2 y ＝ 0， 令 x ＝ 1 得 z ＝ 2 ， y ＝－ 1 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 ∴ 平面 G BD 的一个法向量为 (1 ，－ 1,2 ) ， 显然 A 1 O→ ＝ ( － 1,1 ，－ 2) ＝－ n ， ∴ A 1 O→ ∥ n ， ∴ A 1 O ⊥ 平面 G BD . 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 探究点三 证明面面垂直 问题 怎样证明两个平面垂直。 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 有两种思路可以证明两个平面垂直 ① 据面面垂直判定定理，转化为证相应线面垂直、线线垂直． ② 证明两平面的法向量相互垂直．这种方法大大优化了解题过程，并避免了繁琐的计算． 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 例 3 在四面体 ABCD 中， AB ⊥ 平面 BCD ， BC ＝ CD ， ∠ BCD＝ 90176。 ， ∠ A D B ＝ 30176。 ， E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点，求证：平面 BEF ⊥ 平面 ABC . 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 建系如图，设 A ( 0,0 ， a ) ， 则易得 B ( 0,0,0) ， C32a ，32a ， 0 ， D (0 ， 3 a, 0) ， E34a ，34a ，a2， F (0 ，32a ，a2) ， 故 AB→＝ ( 0,0 ，－ a ) ， BC→＝32a ，32a ， 0 . 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 设平面 AB C 的法向量为 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， 则 n 1 AB→＝ 0 ，n 1 BC→＝ 0 ， 即 － az 1 ＝ 0x 1 ＋ y 1 ＝ 0，取 x 1 ＝ 1 ， ∴ n 1 ＝ (1 ，－ 1,0) 为平面 ABC 的一个法向量． 研一研 问题探究、课堂更高效 设 n 2 为平面 BEF 的一个法向量． 同理可得 n 2 ＝ ( 1,1 , － 3 ) ， ∵ n 1 n 2 ＝ (1 , － 1,0) ( 1,1 , － 3。