高中数学232平面与平面垂直的判定课件新人教a版必修2

高中数学232平面与平面垂直的判定课件新人教a版必修2内容摘要：

1A1是二面角 D － C1F － A1的平面角． 由已知 A1D ＝ A1C1，则 ∠ DC1A1＝ 45176。 . 故所求二面角的大小为 45176。 . [类题通法 ] 解决二面角问题的策略 清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． [ 活学活用 ] 2. 如图所示，在 △ AB C 中， AB ⊥ BC ， SA ⊥ 平面 A BC ， DE垂直平分 SC ，且分别交 AC ， SC 于点 D ， E ，又 SA ＝ AB ，SB ＝ BC ，求二面角 E － BD － C 的大小． 解： ∵ E 为 SC 中点，且 SB ＝ BC ， ∴ BE ⊥ SC .又 DE ⊥ SC ， BE ∩ DE ＝ E ， ∴ SC ⊥ 平面 B D E ， ∴ BD ⊥ SC .又 SA ⊥ 平面 ABC ， 可得 SA ⊥ BD ， SC ∩ SA ＝ S ， ∴ BD ⊥ 平面 S A C ，从而 BD ⊥ AC ， BD ⊥ DE ， ∴∠ E DC 为二面角 E － BD － C 的平面角． 设 SA ＝ AB ＝ 1. △ A B C 中， ∵ AB ⊥ BC ， ∴ SB ＝ BC ＝ 2 ， AC ＝ 3 ， ∴ SC ＝ 2. 在 Rt △ S A C 中， ∠ D C S ＝ 30 176。 ， ∴∠ E DC ＝ 60176。 ，即二面角 E － BD － C 为 60176。 . 线面、面面垂直的综合问题 [ 例 3] 如图，在四棱锥 P － AB CD 中，底面是边长为 a的正方形，侧棱 PD ＝ a ， PA ＝ PC ＝ 2 a ，求证： ( 1) PD ⊥ 平面 A BC D ； ( 2) 平面 P A C ⊥ 平面 P B D ； ( 3) 二面角 P － BC － D 是 45176。 的二面角． [ 证明 ] ( 1) ∵ PD ＝ a ， DC ＝ a ， PC ＝ 2 a ， ∴ PC2＝ PD2＋ DC2. 则 PD ⊥ DC . 同理可证 PD ⊥ AD .又 ∵ AD ∩ DC ＝ D ，且 AD ， DC ⊂平面 A BC D ， ∴ PD ⊥ 平面 A BC D . (2) 由 (1) 知 PD ⊥ 平面 A B C D ，又 ∵ AC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PD ⊥ AC . ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD . 又 ∵ BD ∩ PD ＝ D ，且 PD ， BD ⊂ 平面 PBD ， ∴ AC ⊥ 平面 PBD . 又 ∵ AC ⊂ 平面 P A C ， ∴ 平面 P A C ⊥ 平面 PB D . (3) 由 (1) 知 PD ⊥ BC ， 又 ∵ BC ⊥ DC ，且 PD ， DC 为平面 PDC 内两条相交直线， ∴ BC ⊥ 平面 PDC . ∵ PC ⊂ 平面 PDC ， ∴ BC ⊥ PC . 则 ∠ PCD 为二面角 P － BC － D 的平面角． 在 Rt △ PDC 中， ∵ PD ＝ DC ＝ a ， ∴∠ PCD ＝ 45176。 ， 即二面角 P － BC － D 是 45176。 的二面角． [类题通法 ] 本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直 ⇒线面垂直 ⇒面面垂直． [ 活学活用 ] 3. △ ABC 为正三角形， EC ⊥ 平面 A BC ， BD ∥ CE ，且 CE＝ CA ＝ 2 BD ， M 是 EA 的中点．求证： ( 1) DE ＝ DA ； ( 2) 平面 BDM ⊥ 平面 E CA ； ( 3) 平面 DEA ⊥ 平面 EC A . 证明： ( 1) 设 BD ＝ a ，作 DF ∥ BC 交 CE 于 F ， 则 CF ＝ DB ＝ a .因为 CE ⊥ 面 ABC ， 所以 BC ⊥ CF ， DF ⊥ EC ， 所以 DE ＝ EF2＋ DF2＝ 5 a . 又因为 DB ⊥ 面 A BC ， 所以 DA ＝ DB2＋ AB2＝ 5 a ， 所以 D。