第三章22

第三章22内容摘要：

P(0， 1)且与抛物线 y2＝ 2x只有一个公共点的直线方程 ． 【 思路点拨 】 首先画图分析符合条件的直线的条数 ， 若直线平行于对称轴 ， 则根据题意直接求方程 ． 若直线与抛物线相切 ， 则运用根与系数的关系求方程 ． 【解】 若直线的斜率不存在 ， 则 过点 P (0 ， 1 ) 的直线方程为 x ＝ 0. 由 x ＝ 0 ，y2＝ 2 x ，得 x ＝ 0 ，y ＝ 0. 名师微博 这是抛物线的切线 . 所以直线 x ＝ 0 与抛物线只有一个公共点 . 3 分 若直线的斜率存在 ， 则由题意设直线的方程 为 y ＝ kx ＋ 1. 由方程组 y ＝ kx ＋ 1 ，y2＝ 2 x ， 消去 y ， 得 k2x2＋ 2 ( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0. 6 分 当 k ＝ 0 时 ， 有x ＝12，y ＝ 1 ， 即直线 y ＝ 1 与抛物线只有一个公共点 . 8 分 当 k ≠ 0 时 ， 有 Δ ＝ 4 ( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ， 解得 k ＝12， 所 以方程为 y ＝12x ＋ 1 的直线与抛物线只有一个公共点． 1 0 分 综上所述 ， 所求直线的方程为 x ＝ 0 或 y ＝ 1或 y ＝12x ＋ 1. 12 分 【 名师点评 】 与抛物线只有一个公共点的直线有两类：一类是对称轴的平行线；另一类是切线 ． 一般来说 ， 应先由图形判断条数 ,然后再具体求解 ， 以免漏解 ． 变式训练 l： y＝ kx＋ 1和抛物线 C： y2＝ 4x，根据下列条件确定 k的取值范围 ． (1)l与 C有一个公共点； (2)l与 C有两个公共点； (3)l与 C没有公共点 ． 解： 将直线 l 和抛物线 C 联立得 y ＝ kx ＋ 1 ，y2＝ 4 x ， 消去 y 得 k2x2＋ (2 k － 4) x ＋ 1 ＝ 0 . ( * ) 当 k ＝ 0 时 ， 方程 ( *) 只有一个解 x ＝14， y ＝ 1 ， 当 k ≠ 0 时 ， 方程 ( * ) 是一元二次方程 ， Δ ＝ (2 k － 4)2－ 4 k2. (1)当 Δ0时 ， 即 (2k－ 4)2－ 4k20， 解得 k1且k≠ 0， l与 C有两个公共点 ， 此时 l与 C相交； (2)当 Δ＝ 0时 ,即 (2k－ 4)2－ 4k2＝ 0， 解得 k＝ 1, l与 C有一个公共点 ， 此时 l与 C相切； (3)当 Δ0时 ， 即 (2k－ 4)2－ 4k20， 解得 k1， l与 C没有公共点 ， 此时 l与 C相离 ． 综上所述 ， 当 k＝ 1或 k＝ 0时 ， l与 C有一个公共点； 当 k1时 k≠ 0时 ， l与 C有两个公共点； 当 k1时 ， l与 C没有公共点 ． 备选例题 AB是抛物线 y2＝ 2px(p0)的焦点弦 ， F为抛物线的焦点 ， A(x1， y1)， B(x2， y2)． 求证： ( 1) y1y2＝－ p2， x1x2＝p24； ( 2) | AB |＝ x1＋ x2＋ p ＝2 ps i n2θ( θ 为直线 AB 与 x轴的夹角 ) ； ( 3) S △AO B＝p22s i n θ； ( 4)1| AF |＋1|。