第3章-32-323导数的四则元算法则

第3章-32-323导数的四则元算法则内容摘要：

线 y ＝ x4＋ ax2＋ 1 在点 ( －1 ， a ＋ 2) 处切线的斜率为 8 ，则 a ＝ ( ) A ． 9 B ． 6 C ．－ 9 D ．－ 6 ( 2 ) 若曲线 y ＝32x2＋ x －12的某一切线与直线 y ＝ 4 x ＋ 3 平行，则切点坐标为 _ _ _ _ _ _ _ _ ，切线方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【思路探究】 ( 1 ) 求出函数在 x ＝－ 1 处的导数，其几何意义为在此点处切线的斜率，解方程可得 a 的值； ( 2 ) 设出切点坐标，利用导数的几何意义求之，进而可知切线方程． 【自主解答】 ( 1 ) y ′ ＝ 4 x3＋ 2 ax ，由导数的几何意义知在点( － 1 ， a ＋ 2) 处的切线斜率 k ＝ y ′ | x ＝－ 1 ＝－ 4 － 2 a ＝ 8 ，解得 a ＝－ 6. ( 2 ) 函数的导数为 y ′ ＝ 3 x ＋ 1 ，已知直线 y ＝ 4 x ＋ 3 的斜率 k ＝ 4 ，由 3 x ＋ 1 ＝ 4 ，解得切点的横坐标 x ＝ 1 ，所以 y ＝ 2 ，即切点坐标为( 1 , 2 ) ，切线方程为 y － 2 ＝ 4( x － 1 ) ，即 y ＝ 4 x － 2. 【答案】 ( 1) D ( 2) ( 1, 2) y ＝ 4 x － 2 利用导数的几何意义解决切线问题时，若已知点是切点，则该点处切线的斜率就是该点处的导数，如果已知点不是切点，则应设出切点，再借助于两点连线的斜率公式进行求解． 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m ＋ 1) x ＋ 2 m 是偶函数，且 f ( x ) 在 x ＝ 1 处的切线方程为 ( n － 2) x － y － 3 ＝ 0 ，则常数 m ， n 的积等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 函数为偶函数，所以有 m ＋ 1 ＝ 0 ， m ＝－ 1. 所以 f ( x )＝ x2－ 2 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ，所以在 x ＝ 1 处的切线斜率为 f ′ ( 1 ) ＝ 2 ，切线方程为 y ＝ ( n － 2) x － 3 ，即 n － 2 ＝ 2 ， n ＝ 4 ，所以 mn ＝－ 4. 【答案】 － 4 导数的综合应用 已知直线 l 1 为曲线 y ＝ x2＋ x － 2 在点 ( 1 , 0 ) 处的切线，l 2 为该曲线的另一条切线，且 l 1 ⊥ l 2 . ( 1 ) 求直线 l 2 的方程； ( 2 ) 求由直线 l 1 ， l 2 和 x 轴所围成的三角 形的面积． 【思路探究】 求 y ′ | x ＝ 1 即 l 1 的斜率 → 求 l 2 的斜率 → 求切点坐标 → 写出 l 2 的方程 → 求 l 1 与 l 2 的交点，进而求三角形的面积 【自主解答】 ( 1 ) ∵ y ′ ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴ 直线 l1的斜率为 k ＝ 2 1＋ 1 ＝ 3 ，方程为 y ＝ 3 x － 3. 设直线 l2与曲线 y ＝ x2＋ x － 2 切于点 A ( a ， a2＋ a － 2) ， 则 l2的方程为 y ＝ (2 a ＋ 1) x － a2－ 2 ， 因为 l1⊥ l2，则有 2 a ＋ 1 ＝－13， a ＝－23. 所以直线 l2的方程为 y ＝－13x －229. ( 2 ) 解方程组 y ＝ 3 x － 3y ＝－13x －229， 得 x ＝16y ＝－52. 所以直线 l1和 l2的交点坐标为16，－52， l 1 ， l 2 与 x 轴的交点 坐标分别为 ( 1 , 0 ) ，－223， 0 ， 所以所求三角形的面积 S ＝121 －－223－5。