第2章-21-221双曲线及其标准方程

第2章-21-221双曲线及其标准方程内容摘要：

116. 故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝ 1. 1 ． 求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二 是待定系数法． 2 ．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤： ( 1 ) 定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在 x 轴上； ( 2 ) 设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程 ( 当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为 Ax2＋ By2＝ 1( AB ＜ 0 ) ) ； ( 3 ) 定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． ( 1 ) 与椭圆x24＋ y2＝ 1 共焦点且过点 Q ( 2 , 1 ) 的双曲线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ ． (2 ) 设双曲线的焦点为 F 1 (0 ，－ 7 ) ， F 2 (0 ， 7 ) ，双曲线上的一点 P 满足 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 4 ，则双曲线的方程为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 由题意知双曲线的焦点为 ( 3 ， 0) ， ( － 3 ， 0) ， 设其方程为x2a2 －y23 － a2 ＝ 1 ，又过 Q ( 2 , 1 ) ，则4a2 －13 － a2 ＝ 1 ，解得 a2＝ 2 ，则所求双曲线的方程为x22－ y2＝ 1. ( 2) 由双曲线的定义可知 2 a ＝ 4 ，即 a ＝ 2 ，又 c ＝ 7 ， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 3 ，又因为双曲线的焦点在 y 轴上，故其方程为y24－x23＝ 1. 【答案】 ( 1 ) x22 － y2 ＝ 1 ( 2 ) y24 －x 23 ＝ 1 双曲线定义的应用 如图 2 － 2 － 1 所示，已知双曲线x24－y29＝ 1 ， F1， F2是其两个焦点，点 M 在双曲线上． 图 2 － 2 － 1 ( 1 ) 若 ∠ F 1 MF 2 ＝ 9 0 176。 ，求 △ F 1 MF 2 的面积； ( 2 ) 若 ∠ F 1 MF 2 ＝ 1 2 0 176。 ， △ F 1 MF 2 的面积是多少。 若 ∠ F 1 MF 2 ＝60176。 ， △ F 1 MF 2 的面积又是多少。 【思路探究】 ( 1 ) 求三角形的面积该联想到哪些方法。 ( 2 ) 如何运用双曲线的定义解决问题。 【自主解答】 ( 1 ) 由双曲线方程知， a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 13 ，设 | MF1|＝ r1， | MF2|＝ r2( r1＞ r2) ． 由双曲线定义知，有 r1－ r2＝ 2 a ＝ 4 ，两边平方得 r21＋ r22－ 2 r1 r2＝ 16 ， 即 | F1F2|2－ 4 S △ F1MF2＝ 16 ， 也即 52 － 16 ＝ 4 S △ F1MF2， 求得 S △ F1MF2＝ 9. ( 2 ) 若 ∠ F1MF2＝ 1 2 0 176。 ， 在 △ MF1F2中，由余弦定理得， | F1F2|2＝ r21＋ r22－ 2 r1r2c o s 1 2 0 176。 ， | F1F2|2＝ ( r1－ r2)2＋ 3 r1r2＝ (2 c )2， r1r2＝ 12 ， 求得 S △ F1MF2＝12r1r2si n 1 2 0 176。 ＝ 3 3 . 同理可求得若 ∠ F1MF。