第1章-11-131推出与充分条件、必要条件

第1章-11-131推出与充分条件、必要条件内容摘要：

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】 ( 1) 若 φ ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ c os x 是偶函数，但是若 f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 是偶函数，则 φ ＝ π 也成立．故 “ φ ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 为偶函数 ” 的充分而不必要条件． ( 2) 由 A ⊆ B ，得 A ∩ B ＝ A ；反过来，由 A ∩ B ＝ A ，且 ( A ∩ B ) ⊆B ，得 A ⊆ B . 因此， A ⊆ B 是 A ∩ B ＝ A 成立的充要条件． 【答案】 ( 1) A ( 2) C 充分条件、必要条件、充要条件的应用 若 “ x 2 ＞ 1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分条件，则 a 的最大值是多少。 【思路探究】 ( 1) 本例中谁是条件，谁是结论。 ( 2) “ x 2 ＞1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分条件的含义是什么。 【自主解答】 ∵ x2＞ 1 ， ∴ x ＜－ 1 或 x ＞ 1. 又 ∵ “ x2＞ 1 ” 是 “ x ＜ a ” 的必要不充分条件． ∴ x ＜ a ⇒ x2＞ 1 但 x2＞ 1 ⇒ / x ＜ a . 如图示： ∴ a ≤ － 1 ， ∴ a 的最大值为－ 1. 1 ． 若条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来；若条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立起逻辑关系解决问题． 2 ．本类题目常与集合知识联系，解题时要把满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合建立起 包含关系，并借助数轴的直观性来处理，但要特别注意端点值的取舍． 本例中的 “ x ＜ a ” 改为 “ x ＞ a ” ，其他条件不变，则 a 的最小值为多少。 【解】 ∵ x2＞ 1 ， ∴ x ＜－ 1 或 x ＞ 1 ， ∵ “ x2＞ 1 ” 是 “ x ＞ a ” 的必要不充分条件， ∴ x ＞ a ⇒ x2＞ 1 ，但 x2＞ 1 ⇒ / x ＞ a . 如图示： ∴ a ≥ 1 ， ∴ a 的最小值为 1. 充要条件的证明 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ p n ＋ q ( p ≠ 0 且 p ≠ 1) ． 求证： { a n } 为等比数列的充要条件是 q ＝－ 1. 【思路探究】 分清条件 p 与结论 q → 证充分性 p ⇒ q→ 证必要性 q ⇒ p → 结论 p ⇔ q 【自主解答】 充分性：当 q ＝－ 1 时， Sn＝ pn－ 1 ， 当 n ≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn － 1＝ pn － 1( p － 1) ， 当 n ＝ 1 时，也成立， ∴ 数列 { an} 的通项公式为 an＝ pn － 1( p － 1) ． 又 ∵ p ≠ 0 且 p ≠ 1 ， ∴an ＋ 1an＝pn p － 1 pn － 1 p － 1 ＝ p ， ∴ 数列 { an} 为等比数列． 必要性：当 n ＝ 1 时， a1＝ S1＝ p ＋ q ， 当 n ≥ 2 时， an＝ Sn－ Sn － 1＝ pn － 1( p － 1) ． ∵ p ≠ 0 且 p ≠ 1 ， ∴an ＋ 1an＝pn p － 1 pn － 1 p － 1 ＝ p . 又 ∵ { an} 为等比数列， ∴a2a1＝an ＋ 1an＝ p ， ∴p  p － 1 p ＋ q＝ p ， ∴ q ＝－ 1. 综上可知， { an} 是等比 数列的充要条件是 q ＝－ 1. 1 ． 在本题中，充分性。