人教b版高中数学选修2-2第2章21第1课时合情推理

人教b版高中数学选修2-2第2章21第1课时合情推理内容摘要：

面的面积为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，则四面体的体积 V ＝ ________. [ 答案 ] 13 R ( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ) [ 解析 ] 将球心与四面体 连结，构成四个棱锥，棱锥底面积分别为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，高都是 R ， ∴ V ＝13R ( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ) ． 课堂典例探究 归纳推理的应用 已知数列 { an } 的第一项 a 1 ＝ 1 ，且 a n ＋ 1 ＝a n1 ＋ a n( n＝ 1,2, 3 ， „ ) ，试归纳出这个数列的通项公式． [ 分析 ] 数列 { a n } 的通项公式是第 n 项 a n 与序号 n 之间的对应关系，我们可以先根据已知条件算出数列 { a n } 的前几项，然后去归纳出一般性的公式． [ 解析 ] 当 n ＝ 1 时， a1＝ 1 ， 当 n ＝ 2 时， a2＝11 ＋ 1＝12， 当 n ＝ 3 时， a3＝121 ＋12＝13， 当 n ＝ 4 时， a4＝131 ＋13＝14. „„ 猜测 an＝1n. [ 方法总结 ] (1) 归纳推理的思维过程是 实验、观察→ 概括、推广 → 猜测一般性结论 . (2) 归纳推理用的是不完全归纳法，俗称归纳法．用归纳推理得出的一般结论，可能真，也可能假，结论的正确性有待于进一步论证． 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式． (1) a 1 ＝ 3 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ； (2) a 1 ＝ a ， a n ＋ 1 ＝12 － a n. [ 解析 ] (1) 由已知有 a 1 ＝ 3 ＝ 22－ 1 ， a 2 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ＝ 2 3 ＋ 1 ＝ 7 ＝ 23－ 1 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＋ 1 ＝ 2 7 ＋ 1 ＝ 15 ＝ 24－ 1 ， a 4 ＝ 2 a 3 ＋ 1 ＝ 2 15 ＋ 1 ＝ 31 ＝ 25－ 1. 猜测出 a n ＝ 2n ＋ 1－ 1 ， n ∈ N* . (2) 由已知有 a1＝ a ， a2＝12 － a1＝12 － a， a3＝12 － a2＝2 － a3 － 2 a， a4＝12 － a3＝3 － 2 a4 － 3 a. 猜测出 an＝ n － 1  －  n － 2  an －  n － 1  a， n ∈ N*. 类比推理的应用 如图，已知 O 是 △ A BC 内任意一点，连接 AO 、BO 、 CO 并延长交对边分别于 A ′ 、 B ′ 、 C ′ ，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝ 1. 这是平面几何中的一道题，其证明常采用 “ 面积法． ”OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △ OBCS △ ABC＋S △ OCAS △ ABC＋S △ OABS △ ABC＝S △ ABCS △ ABC＝ 1. 运用类比猜想，对于空间中的四面体 V － BC D ，存在什么类似的结论，并用 “ 体积法 ” 证明． [ 分析 ] 解答本题可先在四面体 V － BC D 中任取一点．类比OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝ 1 得出 结论，再类比 “ 面积法 ” 用“ 体积法 ” 进行证明． [ 解析 ] 如图，设 O 为四面体 V － BC D 内任意一点，连接VO 、 BO 、 CO 、 DO 并延长交对面于 V ′ 、 B ′ 、 C ′ 、 D ′ ，类比关系为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝ 1. 类比平面几何中的 “ 面积法 ” ，可用 “ 体积法 ” 来证明． VO － BCDVV － BCD＝13。