高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第二章242二

高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第二章242二内容摘要：

1＝ 2 py1. ∴ 直线 OA 的方程为 y ＝ 2 py 1 x . 研一研 题型解法、解题更高效 本课栏目开关 试一试 练一练 研一研 由 y ＝2 py 1xx ＝－p2，得 D－p2，－p 2y 1. ∴ B 、 D 两点纵坐标相等， BD ∥ x 轴． 当 AB ⊥ x 轴时， x 1 ＝ x 2 ＝p2 ， 此时 Bp2 ，－ p ， D －p2 ，－ p . 显然有 BD ∥ x 轴． 研一研 题型解法、解题更高效 本课栏目开关 试一试 练一练 研一研 小结 本例的研究过程体现了用坐标法研究直线与圆锥曲线位置关系的特点．过焦点的直线可将直线方程设为 x＝ my ＋p2的形式，从而避免分类讨论．本例是抛物线焦点弦的一个几何性质． 研一研 题型解法、解题更高效 本课栏目开关 试一试 练一练 研一研 跟踪训练 2 如图所示，抛物线 y2＝ 2 px ( p 0) 的 焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC ∥ x 轴．证 明直线 AC 经过原点 O . 证明 方法一 设直线 AB 的方程为 y ＝ k x －p2， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， C－p2， y 2 . 联立方程组，得 y ＝ kx －p2，y2＝ 2 px ， 消去 x ，得 y2－2 pyk－ p2＝ 0 ， 研一研 题型解法、解题更高效 本课栏目开关 试一试 练一练 研一研 ∴ y 1 y 2 ＝－ p 2 ， k OA ＝y 1x 1 ， k OC ＝y 2－p2＝2 py 1 . 又 ∵ y 21 ＝ 2 px 1 ， ∴ k OC ＝ y 1x 1 ＝ k OA ，所以 AC 经过原点 O . 当 k 不存在时， AB ⊥ x 轴，同理可得 k OA ＝ k OC ， 所以 AC 经过原点 O . 研一研 题型解法、解题更高效 本课栏目开关 试一试 练一练 研一研 方法二 因为抛物线 y2＝ 2 px ( p 0) 的焦点为 Fp2， 0 ，由于直线 AB 斜率不为 0 ，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x＝ my ＋p2，代入抛物线方程消去 x ，得 y2－ 2 p my － p2＝ 0. 若设A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ， y 2 是该方程的两个根，所以 y 1 y 2 ＝－ p2. 因为 BC ∥ x 轴，且点 C 在准线 x ＝－p2上，所以点 C 的坐标为－p2， y 2 ，故直线 CO 的斜率为 k ＝y 2－p2＝2 py 1＝y 1x 1， 即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O . 研一研 1。