高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第三章323

高中数学苏教版选修2-1【配套备课资源】第三章323内容摘要：

1 . ∵ PB→ DM→ ＝ ( 2 ,0 ，－ 2 ) 1 ，－32 ， 1 ＝ 0 ， ∴ PB ⊥ DM . 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 ( 2 ) 解 ∵ PB→ AD→ ＝ ( 2 , 0 ，－ 2 ) ( 0 , 2 , 0 ) ＝ 0 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 ∴ PB ⊥ AD . 又 ∵ PB ⊥ DM ， DM ∩ AD ＝ D ， ∴ PB ⊥ 平面 A D M N ， 即 PB→ 为平面 A D M N 的一个法向量． 因此〈 PB→ ， DB→ 〉的余角即是 BD 与平面 A D MN 所成的角． ∵ c o s 〈 PB→， DB→〉＝PB→DB→|PB→|| DB→|＝42 2 2 2＝12， ∴ 〈 PB→， DB→〉＝π3， ∴ BD 和平面 A D M N 所成的角为π6. 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 探究点三 求二面角 问题 怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小。 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 ( 1 ) 基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算； ( 2 ) 坐标法 ： 建立适当的空间直角坐标系 ， 求得相关 两个半平面的法向量 ， 再借助平面的法向量求解 ． 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 例 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P — A B C D 中，AB ⊥ AC ， PA ⊥ 平面 ABCD ，且 PA ＝ AB ， E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角． 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC ，AB ， AP 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系． 设 PA ＝ AB ＝ a ， AC ＝ b ，连接 BD 与 AC 交于点 O ，取 AD中点 F ，则 C ( b, 0 ,0 ) ， B (0 ， a, 0) ， BA→ ＝ CD→ . ∴ D ( b ，－ a, 0) ， P ( 0 ,0 ， a ) ， 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 ∴ Eb2，－a2，a2， Ob2， 0 ， 0 ， OE→＝0 ，－a2，a2， AC→＝ ( b, 0,0) ． 研一研 问题探究、课堂更高效 ∵ OE→AC→＝ 0 ， ∴ OE→⊥ AC→， OF→＝12 BA→＝0 ，－a2 ， 0 ， OF→AC→＝ 0. ∴ OF→ ⊥ AC→ . ∴∠ EO F 等于平面 EAC 与平面 AB C D 的夹角 ( 或补角 ) ． c o s 〈 OE→ ， OF→ 〉＝ OE→ OF→| OE→ || OF→ |＝ 22 . ∴ 平面 EAC 与平面 ABC D 的夹角为 4 5 176。 . 本课栏目开关 填一填 练一练 研一研 方法二 建系如方法一， ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ AP→＝ ( 0,0 ， a ) 为平面 ABCD 的法向量， AE→＝b2，－a2，a2， AC→＝ ( b, 0,0) ． 研一研 问题探究、课堂更高效 设平面 AEC 的法向量为 m ＝ ( x ， y ， z ) ． 由 m AE→ ＝ 0 ，m AC→ ＝ 0 ， 得。