高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章12

高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章12内容摘要：

堂更高效 跟踪训练 1 求函数 f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的极值与极值点． 解 函数 f ( x ) ＝ 3x ＋ 3ln x 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝－ 3x 2 ＋ 3x ＝ 3  x － 1 x 2 . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′ ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： x ( 0,1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 3 因此当 x ＝ 1 时， f ( x ) 有极小值 f ( 1) ＝ 3. x ＝ 1 是极小值点． 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值，如何确定函数 解析 式中的参数。 答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ，求常数a ， b 的值． 解 因为 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ， 且 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 ax ＋ b ， 所以 f ′  － 1  ＝ 0 ，f  － 1  ＝ 0 ， 即  3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a 2 ＝ 0. 解之得 a ＝ 1 ，b ＝ 3 或  a ＝ 2 ，b ＝ 9. 当 a ＝ 1 ， b ＝ 3 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1) 2 ≥ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数，无极值，故舍去． 当 a ＝ 2 ， b ＝ 9 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1) ( x ＋ 3) ． 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 当 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 时， f ( x ) 为减函数；当 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x )为增函数， 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时取得极小值，因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 小结 ( 1) 利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求 解 ． ( 2) 因为 “ 导数值等于零 ” 不是 “ 此点为极值点 ” 的充要条件，所以利用待定系数法求 解 后，必须验证根的合理性． 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 设 x ＝ 1 与 x ＝ 2 是函数 f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx2＋ x 的两个极 值点． ( 1) 试确定常数 a 和 b 的值； ( 2) 判断 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是函数 f ( x ) 的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 ( 1) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ ax ＋ 2 bx ＋ 1. 由极值点的必要条件可知： f ′ ( 1) ＝ f ′ ( 2) ＝ 0 ， ∴ a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 且 a2 ＋ 4 b ＋ 1 ＝ 0 ， 解方程组得， a ＝－ 23 ， b ＝－ 16 . ( 2) 由 ( 1)。