高中数学苏教版选修2-1第3章空间向量与立体几何22

高中数学苏教版选修2-1第3章空间向量与立体几何22内容摘要：

为直角梯形 ， ∠ ABC＝ ∠ BAD＝ 90176。 ， PA＝ BC ＝ AD＝ 1， 问在棱 PD上是否存在一点 E， 使 CE∥ 平面 PAB。 若存在 ， 求出 E点的位置；若丌存在 ， 说明理由 . 12 解 分别以 AB， AD， AP为 x， y， z轴建立空间 直角坐标系 ， ∴ P(0,0,1)， C(1,1,0)， D(0,2,0)， 设 E (0 ， y ， z ) ，则 PE→ ＝ (0 ， y ， z － 1) ， PD→ ＝ (0,2 ，－ 1) ， ∵ PE→ ∥ PD→ ， ∴ y(－ 1)－ 2(z－ 1)＝ 0， ① ∵ AD→ ＝ (0, 2,0) 是平面 P A B 的法向量， 又 CE→ ＝ ( － 1 ， y － 1 ， z ) ， CE ∥ 平面 P A B ， ∴ CE→ ⊥ AD→ ， ∴ ( － 1 ， y － 1 ， z ) (0,2,0) ＝ 0. ∴ y ＝ 1 ，代入 ① 得 z ＝12 ， ∴ E 是 PD 的中点， ∴ 存在 E点为 PD中点时 ， CE∥ 平面 PAB. 要点三 探索性问题 (垂直 、 平行问题 ) 例 3 如图所示 ， 四棱锥 S— ABCD的底面是正方形 ， 每 条侧棱的长都是底面边长的 倍 ， P为侧棱 SD上的点 . (1)求证： AC⊥ SD. 证明 连结 BD， 设 AC交 BD于 O， 则 AC⊥ BD. 由题意知 SO⊥ 平面 ABCD. 2 以 O 为坐标原点， OB→， OC→， OS→分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图 . 设 底面边长为 a ，则高 SO ＝62 a ， 于是 S0 ， 0 ，62a ， D－22a ， 0 ， 0 ， B22a ， 0 ， 0 ，C0 ，22a ， 0 ， OC→＝0 ，22a ， 0 ， SD→ ＝－ 22 a ， 0 ，－62 a ，则 OC→ SD→ ＝ 0. 故 OC⊥ AC⊥ SD. (2)若 SD⊥ 平面 PAC， 则侧棱 SC上是否存在一点 E， 使得 BE∥平面 ， 求 SE∶ EC的值；若丌存在 ， 试说明理由 . 解 棱 SC上存在一点 E使 BE∥ 平面 PAC. 理由如下： 由已知条件知 DS→ 是平面 P A C 的一个法向量， 且 DS→ ＝22 a ， 0 ，62 a ， CS→ ＝0 ，－ 22 a ，62 a ， BC→＝－22 a ，22 a ， 0 . 设 CE→＝ t CS→，则 BE→＝ BC→＋ CE→＝ BC→＋ t CS→ ＝－22 a ，22 a  1 － t  ，62 at ， 而 BE→ DS→＝ 0 ⇔ t ＝13 . 即当 SE ∶ EC ＝ 2 ∶ 1 时， BE→⊥ DS→. 而 B。