高中数学北师大版选修2-1第二章第二课时直线与平面的夹角

高中数学北师大版选修2-1第二章第二课时直线与平面的夹角内容摘要：

为面 BB1C1C 的法向量，1AC＝ ( 3 ， 1 ，－ 2) ， ∴ sin θ ＝ | c os 〈1AO，1AC〉 |＝1AO1AC| 1AO||1AC| ＝33 3 ＋ 1 ＋ 4＝64. 答案：64 3. 已知三棱锥 P － AB C 中， PA ⊥ 平面 AB C ， AB ⊥ AC ， PA ＝ AC ＝12AB ， N 为 AB 上一 点， AB ＝ 4 AN ， M ， S 分别为 PB ， BC 的 中点． ( 1) 证明： CM ⊥ SN ； ( 2) 求 SN 与平面 C MN 的夹角． 解： 设 PA ＝ 1 ，以 A 为原点，射线 AB ， AC ， AP 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角 坐标系如图． 则 P (0,0,1 ) ， C (0,1,0 ) ， B (2,0,0 ) ， M1 ， 0 ，12， N12， 0 ， 0 ， S1 ，12， 0 . (1) 证明： CM ＝1 ，－ 1 ，12， SN ＝－12，－12， 0 ， 因为 CM SN ＝－12＋12＋ 0 ＝ 0 ，所以 CM ⊥ SN . (2) NC ＝－12， 1 ， 0 ，设 a ＝ ( x ， y ， z ) 为平面 C MN 的一 个法向量，则 a CM ＝ 0 ， a NC ＝ 0 ， 即 x － y ＋12z ＝ 0 ，－12x ＋ y ＝ 0.令 x ＝ 2 ，得 a ＝ (2,1 ，－ 2) ． 因为 | c os 〈 a ， SN 〉 |＝－ 1 －123 22＝22， 所以 SN 与平面 C MN 的夹角为 4 5176。 . [ 例 2] ( 12 分 ) 如图，在三棱锥 A － B CD中，侧面 ABD 、 ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD ＝ 3 ， BD ＝ CD＝ 1. 另一个侧面 AB C 是等边三角形．点 A 在底面 B CD 上的射影为 H . ( 1) 以 D 点为原点建立空间直角坐标系，并求 A ， B ， C的坐标； ( 2) 求平面 BAC 与平面 D AC 的夹角的余弦值． ( 3) 在线段 AC 上是否存在一点 E ，使 ED 与面 B CD 的夹角为 30176。 若存在，确定点 E 的位置；若不存在，说明理由． [ 思路点拨 ] ( 1) 建立坐标系，证明 AD BC ＝ 0. ( 2) 求两平面法向量的夹角． ( 3) 先假设存在点 E 满足条件，再建立关于点 E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论． [ 精解详析 ] ( 1) 由题意。