高中数学北师大版选修2-1第二章第一课时直线间的夹角、平面间的夹角内容摘要：
a ， b 〉＝a b|a||b|＝66 8＝32， ∴ 〈 a ， b 〉＝π6即为两直线的夹角． 1．已知直线 l1的一个方向向量为 a＝ (1，－ 2,1)，直线 l2的 一个方向向量为 b＝ (2，－ 2,0)，则两直线的夹角为________． 答案：π6 解： 法一： 以 A 点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设 B ( 1, 0,0) ，则 C ( 1,1,0) ，A1( 0,0,1) ， ∴ AC ＝ ( 1,1,0) ，1BA ＝ ( － 1,0,1) ， ∴ c os 〈 AC ，1BA 〉＝AC 1BA| AC | |1BA | ＝ 1 ， 1 ， 0 － 1 ， 0 ， 1 2 2＝－12. 2．在棱长为 a的正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，求异面直 线 BA1与 AC的夹角． ∴ 〈 AC ，1BA〉＝ 120176。 .故 AC 与 BA1的夹角为 60176。 . 法二 : ∵1BA＝ BA ＋1BB， AC ＝ AB ＋ BC ， ∴1BA AC ＝ ( BA ＋1BB) ( AB ＋ BC ) ＝ BA AB ＋ BA BC ＋1BB AB ＋1BB BC . ∵ AB ⊥ BC ， BB1⊥ AB ， BB1⊥ BC ， ∴ BA BC ＝ 0 ，1BB AB ＝ 0 ，1BB BC ＝ 0 ， ∴1BA AC ＝－ a2. 又 ∵1BA AC ＝ |1BA | | AC | c os 〈1BA ， AC 〉， ∴ c os 〈1BA ， AC 〉＝－ a22 a 2 a＝－12. ∴ 〈1BA ， AC 〉＝ 120176。 . 故异面直线 BA1与 AC 的夹角为 60176。 . 3. 如右图，在四棱锥 P－ ABCD中， PD⊥ 平面 ABCD， ∠ PAD＝ 60176。 ， 在四边形 ABCD中， ∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 ， AB＝ 4， CD＝ 1， AD＝ 2. (1)建立适当的坐标系，并写出点 B、 P的坐标； (2)求异面直线 PA与 BC夹角的余弦值． 解： ( 1) 如右图建立空间直角坐标系， ∵∠ ADC ＝ ∠ DAB ＝ 90 176。 ， AB ＝ 4 ， CD ＝1 ， AD ＝ 2. ∴ A ( 2,0,0) ， C ( 0,1,0) ， B ( 2,4,0) ． 在 Rt △ P AD 中，由 AD ＝ 2 ， ∠ P AD ＝ 60176。 .得 PD ＝ 2 3 ， ∴ P ( 0,0,2 3 ) ． ( 2) 由 ( 1) 得 PA ＝ ( 2,0 ，－ 2 3 ) ， BC ＝ ( － 2 ，－ 3,0) ， ∴ c os 〈 PA ， BC 〉＝PA BC| BA || BC | ＝2 － 2 ＋ 0 － 3 ＋ － 2 3 04 13＝－1313. 故异面直线 PA 与 BC 夹角的余弦值为1313. [。阅读剩余 0%
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