高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、1章末

高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、1章末内容摘要：

x ) 0 ， f ( x ) 递减； 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) 0 ，此时 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 递增； ② 当 a ≠ 0 时， f′ ( x ) ＝ a ( x － 1) [ x － (1a－ 1) ] ， ( ⅰ ) 当 a ＝12时， g ( x ) ≥ 0 恒成立， f′ ( x ) ≤ 0 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上递减； ( ⅱ ) 当 0 a 12时，1a－ 1 1 0 ， x ∈ ( 0,1) 时， g ( x ) 0 ，此时 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 递减； x ∈ (1 ，1a－ 1) 时， g ( x ) 0 ，此时 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 递增； x ∈ (1a－ 1 ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) 0 ，此时 f′ ( x ) 0 ， f ( x )递减； ③ 当 a 0 时，由1a－ 1 0 ， x ∈ (0,1) 时， g ( x ) 0 ，有 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 递减 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) 0 ，有 f′ ( x ) 0 ， f ( x ) 递增． 综上所述： 当 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 在 (0,1) 上递减， (1 ，＋ ∞ ) 上递增； 当 a ＝12时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上递减； 当 0 a 12时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在 (1 ，1a－ 1) 上递增，在 (1a－ 1 ，＋ ∞ ) 上递减． 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚 . 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用 ． 1． 应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝ 0的根； (3)检验 f′(x)＝ 0的根的两侧 f′(x)的符号 ． 若左正右负 ， 则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正 ， 则 f(x)在此根处取得极小值 ． 否则 ， 此根不是 f(x)的极值点 ． 2． 求函数 f(x)在闭区间 [a， b]上的最大值 、 最小值的方法与步骤： (1)求 f(x)在 (a， b)内的极值； (2)将 (1)求得的极值与 f(a)、 f(b)相比较 ， 其中最大的一个值为最大值 ， 最小的一个值为最小值 ． 特别地 ， ① 当 f(x)在 [a， b]上单调时 ， 其最小值 、 最大值在区间端点取得； ② 当 f(x)在 (a， b)内只有一个极值点时 ，若在这一点处 f(x)有极大 (或极小 )值 ， 则可以断定 f(x)在该点处取得最大 (或最小 )值 ， 这里 (a， b)也可以是 (－ ∞， ＋ ∞)． [例 4] 已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx在点 x0处取得极小值－ 4， 使其导函数 f′(x)0的 x的取值范围为 (1,3)． (1)求 f(x)的解析式及 f(x)的极大值； (2)当 x∈ [2,3]时 ， 求 g(x)＝ f′(x)＋ 6(m－ 2)x的最大值 ． [解析 ] (1)由题意知 f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c ＝ 3a(x－ 1)(x－ 3)(a0)， ∴ 在 (－ ∞， 1)上 f′(x)0， f(x)是减函数 ， 在 (1,3)上 f′(x)0， f(x)是增函数 ， 在 (3， ＋ ∞)上 f′(x)0， f(x)是减函数 ． 因此 f(x)在 x0＝ 1处取极小值－ 4， 在 x＝ 3处取得极大值 ． ∴ a ＋ b ＋ c ＝－ 4f′ ( 1 ) ＝ 3 a ＋ 2 b ＋ c ＝ 0f′ ( 3 ) ＝ 27 a ＋ 6 b ＋ c ＝ 0， 解得 a ＝－ 1 ， b ＝ 6 ， c ＝－ 9 ， ∴ f ( x ) ＝－ x3＋ 6 x2－ 9 x . 则 f ( x ) 在 x ＝ 3 处取得极大值 f ( 3) ＝ 0. (2)g(x)＝－ 3(x－ 1)(x－ 3)＋ 6(m－ 2)x ＝－ 3(x2－ 2mx＋ 3)， g′(x)＝－ 6x＋ 6m＝ 0， 得 x＝ m. ① 当 2≤m≤3时 ， g(x)max＝ g(m)＝ 3m2－ 9； ② 当 m2时 ， g(x)在 [2,。