人教b版高中数学选修2-2第3章32第2课时复数的乘法与除法

人教b版高中数学选修2-2第3章32第2课时复数的乘法与除法内容摘要：

|n； ( 5 ) |z |＝ 1 ⇔ z z ＝ 1 ； ( 6 ) |z |2＝ | z |2＝ |z2|＝ | z2|＝ z z－. 设 z ＝12＋32i ( i 是数单位 ) ，则 z ＋ 2 z2＋ 3 z3＋ 4 z4＋ 5 z5＋ 6 z6＝ ( ) A ． 6 z B ． 6 z2 C ． 6 z－ D ． － 6 z [ 答案 ] C [ 解析 ] z2＝－12＋32i ， z3＝－ 1 ， z4＝－12－32i ， z5＝12－32i ， z6＝ 1 ， ∴ 原式 ＝ (12＋32i) ＋ ( － 1 ＋ 3 i) ＋ ( － 3) ＋ ( － 2 － 2 3 i)＋ (52－5 32i) ＋ 6 ＝ 3 － 3 3 i ＝ 6(12－32i) ＝ 6 z－. 课堂典例探究 复数的乘除法 计算下列各题． ( 1 ) ( 4 － i5)(6 ＋ 2i7) ＋ (7 ＋ i11) ( 4 － 3 i ) ； ( 2 ) 1 ＋ i 71 － i＋ 1 － i 71 ＋ i－ 3 － 4i  2 ＋ 2i 34 ＋ 3i； ( 3 ) ( －32－12i)12＋ (2 ＋ 2i1 － 3 i)8. [ 解析 ] ( 1 ) 原式＝ 2 ( 4 － i ) ( 3 － i) ＋ (7 － i ) ( 4 － 3 i ) ＝ 2 ( 1 2 － 3i － 4i ＋ i2) ＋ ( 2 8 － 4i － 2 1 i ＋ 3i2) ＝ 2 ( 1 1 － 7 i ) ＋ 2 5 ( 1 － i) ＝ 47 － 39 i. ( 2 ) 原式＝ [ ( 1 ＋ i)2]31 ＋ i1 － i＋ [(1 － i)2]31 － i1 ＋ i－8  3 － 4i  1 ＋ i 2 1 ＋ i  3 － 4i  i ＝ ( 2 i )3i ＋ ( － 2 i )3( － i) －8 2 i  1 ＋ i i ＝ 8 ＋ 8 － 16 － 1 6 i ＝－ 1 6 i . ( 3 ) 原式＝ ( － i)12( －32－12i)12＋ (1 ＋ i12－32i)8 ＝ ( －12＋32i)12＋[  1 ＋ i 2]4 12－32i [ 12－32i 3]3 ＝ [( －12＋32i)3]4＋ ( － 8 ＋ 8 3i ) ＝ 1 － 8 ＋ 8 3i ＝－ 7 ＋ 8 3i . [ 方法总结 ] ( 1 ) 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算 ( 乘方、开方 ) ，再进行次级运算 ( 乘、除 ) ，最后进行低级运算 ( 加、减 ) ．如 i 的幂运算，先利用 i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算． ( 2 ) 对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，计算过程就可以简化，起到快速简捷出错少的效果，如下结果，要记住． ① ( 1 177。 i )2＝ 177。 2 i ； 1 ＋ i1 － i＝ i ；1 － i1 ＋ i＝－ i ；1i＝－ i. ② 若 ω ＝－12＋32i ，则 ω3＝ 1 ， ω2＝ ω ＝1ω， 1 ＋ ω ＋ ω2＝0. ( 1 ) ( 2 0 1 5 湖南理， 1) 已知 1 － i 2z＝ 1 ＋ i ( i 为虚数单位 ) ，则复数 z ＝ ( ) A ． 1 ＋ i B ． 1 － i C ．－ 1 ＋ i D ． － 1 － i [ 答案 ] D [ 解析 ] 由题意得， z ＝  1 － i 21 ＋ i ＝－ 2i1 ＋ i ＝－ 1 － i ，故选 D. ( 2 ) ( 2 0 1 5 会宁县期中 ) 复数 z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i的共轭复数是 ( ) A ． 2 ＋ i B ． 2 － i C ．－ 1 ＋ i D ． － 1 － i [ 答案 ] D [ 解析 ] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的求法． z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i＝ － 3 ＋ i  2 － i  2 ＋ i  2 － i ＝－ 5 ＋ 5i5＝－ 1 ＋ i ，故 z 的共轭复数为－ 1 － i. 在将复数的分母实数化时，要注意 i 前的系数的正负． ( 3 ) 计算 1i ( 2 ＋ 2 i) 5 ＋11 ＋ i4 ＋1 ＋ i1 － i7 . [ 解析 ] 原式＝－ i ( 2 )5 [ ( 1 ＋ i)2]2 ( 1 ＋ i) ＋1 1 ＋ i 22＋ i7＝16 2 ( － 1 ＋ i)。