人教b版高中数学选修2-2第2章22第2课时反证法

人教b版高中数学选修2-2第2章22第2课时反证法内容摘要：

c＝ z2－ 2 x ＋π6. 求证： a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0. [ 证明 ] 假设 a ， b ， c 都不大于 0 ， 即 a ≤ 0 ， b ≤ 0 ， c ≤ 0 ，则 a ＋ b ＋ c ≤ 0. 而 a ＋ b ＋ c ＝ x2－ 2 y ＋π2＋ y2－ 2 z ＋π3＋ z2－ 2 x ＋π6 ＝ ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2＋ π － 3. ∵ π － 30 ，且 ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0. ∴ a ＋ b ＋ c 0 ，这与 a ＋ b ＋ c ≤ 0 矛盾， 因此 a ， b ， c 中至少有一个大于 0. 用反证法证明唯一性命题 求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． [ 证明 ] 已知：点 P 在直线 a 外． 求证：过点 P 与直线 a 平行的直线有且只有一条． 证明： ∵ 点 P 在直线 a 外， ∴ 点 P 和直线 a 确定一个平面，设该平面为 α ，在平面 α 内，过点 P 作直线 b ，使得 b ∥ a ，则过点 P 有一条直线与 a 平行． 假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平行． ∵ a ∥ b ， a ∥ c ， ∴ b ∥ c ，这与 b 、 c 相交于点 P 矛盾，故假设不成立． [ 方法总结 ] 证明 “ 有且只有一个 ” 的问题，需要证明两个命题 ，即存在性和唯一性．当证明结论以 “ 有且只有 ” 、 “ 只有一个 ” 、 “ 唯一存在 ” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性较简单明了． 证明方程 2x＝ 3有且只有一个实根 ． [ 证明 ] ∵ 2x＝ 3 ， ∴ x ＝ log 2 3 ， 这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程 2x＝ 3 的根是唯一的．假设方程 2x＝ 3 有两个根 b 1 ， b 2 ( b 1 ≠ b 2 ) ． 则 2 b 1 ＝ 3,2 b 2 ＝ 3. 两式相除得： 2 b 1 － b 2 ＝ 1. 如果 b 1 － b 2 0 ，则 2 b 1 － b 2 1 ，这与 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 如果 b 1 － b 2 0 ，则 2 b 1 － b 2 1 ，这也与 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 因此 b 1 － b 2 ＝ 0 ，则 b 1 ＝ b 2 . 这就同 b 1 ≠ b 2 相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且只有一个实根 . 用反证法证明否定命题 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形 ． 已知：如图所示 ， A， B， C， D是抛物线 y2＝ 2px(p0)上的任意四点 ， 其坐标分别是 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，C(x3， y3)， D(x4， y4)． 连接 AB， BC，CD， DA， 求证：四边形 ABCD不可能是平行四边形 ． [分析 ] 解答本题的关键在于通过假设 ， 根据平行四边形对边所在直线的斜率相等 ， 推出结论与已知条件相矛盾 ， 从而肯定原命题正确 ． [ 解析 ] 由题意得，直线 AB 的斜。