人教b版高中数学选修2-2第1章11第3课时导数的几何意义

人教b版高中数学选修2-2第1章11第3课时导数的几何意义内容摘要：

一般步骤是：求出函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数 f′(x0)；利用直线的点斜式，得出切线方程为 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0)． 若求曲线 f(x)过点 (x0， y0)的切线，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点的坐标，从而得到切线方程． 3．求切点的坐标 设切点坐标为 (x0， y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直等条件求出切点的坐标． 求切点坐标的一般思路： (1)先设切点坐标 (x0， y0)； (2)求导函数 f′ (x)； (3)求切线的斜率 f′ (x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x0； (5)由于点 (x0， y0)在曲线 y＝ f(x)上，将 x0代入求 y0得切点坐标． 已知曲线 y ＝x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 设切点的横坐标为 x 0 ， k ＝ y ′ |x ＝ x 0 ＝ l i mΔ x → 0  x 0 ＋ Δ x 24－x204Δ x＝ l i mΔ x → 0 2 x 0 Δ x ＋  Δ x 24Δ x＝12x 0 ，而切线的斜率为12， ∴12x 0 ＝12， ∴ x 0 ＝ 1 ，则切点的横坐标为 1 ，故选 A. 4．求三角形面积 利用导数的几何意义，求切线与其他曲线形成的几何图形面积，特别是三角形面积，是高考的一个常考点．作出草图，数形结合是解决此类问题的有效方法． 曲线 y ＝ x3在点 ( a ， a3)( a ≠ 0) 的切线与 x 轴、直线 x ＝ a 所围成的三角形的面积为16，则 a ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] 177。 1 [ 解析 ] ∵ f′ ( a ) ＝ l i mΔ x → 0  a ＋ Δ x 3－ a3Δ x＝ 3 a2， ∴ 曲线在点 ( a ， a3) 的切线方程为 y － a3＝ 3 a2－ ( x － a ) ，切线与 x 轴的交点为 (23a, 0) ． ∴ 三角形的面积为12| a －23a | |a3|＝16，解得 a ＝ 177。 1 . 课堂典例探究 求曲线上某点处的切线方程 已知曲线 y ＝13x3上一 点 P2 ，83，求： ( 1 ) 点 P 处的切线的斜率； ( 2 ) 点 P 处的切线方程． [分析 ] 利用导数的几何意义求出曲线在点 P处切线的斜率 ， 进而求出切线方程 ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ y ＝13x3， ∴ y ′ ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 13 x ＋ Δ x 3－13x3Δ x ＝13l i mΔ x → 0 3 x2Δ x ＋ 3 x Δ x2＋ Δ x3Δ x ＝13l i mΔ x → 0 ( 3 x2＋ 3 x Δ x ＋ Δ x2) ＝ x2， y ′ |x ＝ 2＝ 22＝ 4. ∴ 点 P 处的切线的斜率等于 4. ( 2 ) 在点 P 处的切线方程是 y －83＝ 4( x － 2) ， 即 12 x － 3 y － 16 ＝ 0. [ 方法总结 ] 求函数 f ( x ) 图象上点 P 处的切线方程的步骤：先求出函数 在点 ( x 0 ， y 0 ) 处的导数 f′ ( x 0 )( 即过点 P 的切线的斜率 ) ，再用点斜式写出切线方程． 求曲线 y ＝1x 在点 12 ， 2 处的切线的斜率，并写出切线方程． [ 解析 ] ∵ y ′ ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 1x ＋ Δ x－1xΔ x ＝ l i。