人教b版高中数学选修2-2第2章推理与证明

人教b版高中数学选修2-2第2章推理与证明内容摘要：

＋ c ≤ 0. 所以 ( x2－ y － z ＋π2) ＋ ( y2－ x － z ＋π3) ＋ ( z2－ x － y ＋π4) ＝ x2－ 2 x＋ y2－ 2 y ＋ z2－ 2 z ＋13π12≤ 0 ，即 ( x － 1)2＋ ( y － 1) ＋ ( z － 1)2≤ 3 －1312π. 因为 ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0 ，所以 3 －13π12≥ 0 ，即36 ≥ 13π ，这与基本事实 3613π 相矛盾． 故 a ， b ， c 中至多有两个小于或等于零 . 用数学归纳法证题 数学归纳法证题的关键 “ 一凑假设，二凑结 论 ” ，其在高考中有着广泛的考查猜想、归纳等培养探索问题的能力，因此成为高考的考查重点，要引起足够的重视． 求证： 1 －12＋13－14＋ „ ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ „ ＋12 n( n ∈ N*) ． [ 分析 ] 利用数学归纳法证题时要弄清等式两端的变化结构，只有这样，方可搞清由 k → k ＋ 1 时，所增 加的是哪些项． [ 证明 ] (1) 当 n ＝ 1 时，左边＝ 1 － 12 ＝12 ， 右边＝12 ，等式成立． (2) 假设 n ＝ k 时， 1 －12＋13－14＋ „ ＋12 k － 1－12 k＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ „ ＋12 k成立， 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 －12＋13－14＋ „ ＋12 k － 1－12 k＋12  k ＋ 1  － 1－12  k ＋ 1  ＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ „ ＋12 k＋12 k ＋ 1－12  k ＋ 1  ＝1k ＋ 2＋1k ＋ 3＋ „ ＋12 k＋12 k ＋ 1＋1k ＋ 1－12  k ＋ 1  ＝1 k ＋ 1  ＋ 1＋1 k ＋ 1  ＋ 2＋ „ ＋1 k ＋ 1  ＋ k＋12  k ＋ 1  . 所以 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立． 由 (1) 和 (2 ) 知，对于任何 n ∈ N*等式都成立． [ 方法总结 ] 数学归纳法对无穷多个特殊命题的一一验证成为可能，这体现了有限 ( 两步 ) 与无限 ( 无穷多次验证 ) 对立统一的辩证关系 . 归纳 、 猜想 、 证明 设数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ a2n － na n ＋ 1 ， n ∈ N*. (1) 当 a 1 ＝ 2 时，求 a 2 ， a 3 ， a 4 ，并由此猜想出 a n 的一个通项公式； (2) 当 a 1 ≥ 2 时，证明对所有的 n ≥ 1 ，有 a n ≥ n ＋ 1. [ 分析 ] (1) 欲求 a n 的通项公式，从特殊归纳出一般性结论． (2) 利用数学归纳法证明． [ 解析 ] (1) 解：由 a1＝ 2 ，得 a2＝ a21－ a1＋ 1 ＝ 3. 由 a2＝ 3 ，得 a3＝ a22－ 2 a2＋ 1 ＝ 4. 由 a3＝ 4 ，得 a4＝ a23－ 3。