人教b版高中数学选修2-2第2章23数学归纳法

人教b版高中数学选修2-2第2章23数学归纳法内容摘要：

证明 ] 1176。 当 n ＝ 2 时， 1 ＋122 ＝5432＝ 2 －12，命题成立． 2176。 假设 n ＝ k ( k ≥ 2) 时命题成立，即 1 ＋122 ＋132 ＋ „ ＋1k2 2 －1k. 当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋122 ＋132 ＋ „ ＋1k2 ＋1 k ＋ 1 2 2 －1k＋1 k ＋ 1 22 －1k＋1k  k ＋ 1 ＝ 2 －1k＋1k－1k ＋ 1＝ 2 －1k ＋ 1命题也成立． 由 1176。 、 2176。 知原不等式在 n ≥ 2 ， n ∈ N*时均成立． [ 方法总结 ] 用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式． 本例中用1 k ＋ 1 2 1k  k ＋ 1 放缩是关键一步，有时也常用1k21k  k ＋ 1 放缩． 求证： 1 ＋ n2 ≤ 1 ＋ 12 ＋ 13 ＋ „ ＋ 12 n ≤ 12 ＋ n ( n ∈ N * ) ． [ 证明 ] 设 f ( n ) ＝ 1 ＋12＋13＋ „ ＋12n . (1) 当 n ＝ 1 时， f (1) ＝ 1 ＋12，原不等式成立． (2) 设 n ＝ k ( k ∈ N*) 时，原不等式成立． 即 1 ＋k2≤ 1 ＋12＋13＋ „ ＋12k ≤12＋ k 成立 当 n ＝ k ＋ 1 时， f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ „ ＋12k ＋ 1 ≥ 1 ＋k2＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ „ ＋12k ＋ 1 1 ＋k2＋12k ＋ 1 ＋12k ＋ 1 ＋ „ ＋12k ＋ 1 ＝ 1 ＋k2＋12＝ 1 ＋k ＋ 12 f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ „ ＋12k ＋ 1 ≤12＋ k ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ „ ＋12k ＋ 1 12＋ k ＋12k ＋12k ＋ „ ＋12k ＝12＋ ( k ＋ 1) ∴ n ＝ k ＋ 1 时，命题成立． 综合 (1) 、 (2) 可得：原命题对 n ∈ N*恒成立 . 用数学归纳法证明整除问题 用数学 归纳法证明 (3 n ＋ 1) 7 n － 1 能被 9 整除． [ 分析 ] 当 n ＝ 1 时，原式＝ 27 能被 9 整除，因此，要研究(3 k ＋ 1) 7 k － 1 与 (3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 之间的关系，以便利用归纳假设 (3 k ＋ 1) 7 k － 1 能被 9 整除来推证 (3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 能被 9 整除． [ 证明 ] 证法 1 ： (1) 当 n ＝ 1 时， 4 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，命题成立． (2) 假设 n ＝ k 时命题成立，即 (3 k ＋ 1) 7k－ 1 能被 9 整除． 当 n ＝ k ＋ 1 时， [(3 k ＋ 3) ＋ 1] 7k ＋ 1－ 1 ＝ (3 k ＋ 1 ＋ 3) 7 7k－ 1 ＝ 7 (3 k ＋ 1) 7k－ 1 ＋ 21 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k＋ 6 7k＋ 21 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k＋ 27 7k. 由归纳假设 (3 k ＋ 1) 7k－ 1 能被 9 整除，又因为 18 k 7k＋ 27 7k能被 9 整除，所以 [3( k ＋ 1) ＋ 1] 7k ＋ 1－ 1 能被 9 整除，即 n ＝ k ＋1 时命题成立． 由 (1) 、 (2) 可知，对所有的正整数 n ，命题成立． 证法 2 ：设 f ( n ) ＝ (3 n ＋ 1) 7n－ 1. (1) f (1) ＝ (3 1 ＋ 1) 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，因此 n ＝ 1 时，命题成立． (2) 假设 n ＝ k 时命题成立，即 f ( k )( k ∈ N*) 能被 9 整除，则 f ( k＋ 1) － f ( k ) ＝ [(3 k ＋ 4) 7k ＋ 1－ 1] － [( 3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＝ 9 (2 k ＋ 3) 7k. 由于 f ( k ) 能被 9 整除， 9(2 k ＋ 3) 7 k 能被 9 整除，则 f ( k ＋ 1)能被 9 整除． 由 (1) 、 (2 ) 可知，对所有正整数 n ， f ( n ) 能被 9 整除． [ 方法总结 ] 本题的两种证法实质是一样的，证法 1 是把(3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 设法凑出 (3 k ＋ 1) 7 k － 1 ，而证法 2 则是通过计算f ( k ＋ 1) － f ( k ) ，避免了凑的过程． 求证：当 n 为正奇数时， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除． [ 证明 ] (1) 显然，当 n ＝ 1 时，命题成立，即 x1＋ y1能被 x＋ y 整除． (2) 假设当 n ＝ 2 k － 1( k ∈ N*) 时命题成立，即 ( x ＋ y ) 能整除 x2 k－ 1＋ y2 k － 1 则当 n ＝ 2 k ＋ 1 时， x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1＝ x2x2 k － 1＋ x2y2 k － 1－ x2y2 k － 1＋ y2y2 k － 1 ＝ x2( x2 k － 1＋ y2 k － 1) － ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∵ x ＋ y 能整除 ( x2 k － 1＋ y2 k － 1) 又 x ＋ y 能整除 ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∴ ( x ＋ y ) 能整除 ( x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1) 由 (1) 、 (2) 可知当 n 为正奇数时 xn＋ yn能被 x ＋ y 整除 . 用数学归纳法证明几何问题 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12( n2＋ n ＋ 2) 个区。