人教b版高中数学选修2-2第1章13第1课时利用导数判断函数的单调性

人教b版高中数学选修2-2第1章13第1课时利用导数判断函数的单调性内容摘要：

x2－ ln x ； ( 2 ) f ( x ) ＝－13ax3＋ x2＋ 1( a ≤ 0) ． [ 分析 ] 按照利用导数求函数单调区间的一般步骤求解，注意函数的定义域． [ 解析 ] ( 1 ) 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 且 f ′ ( x ) ＝ 6 x －1x＝6 x2－ 1x 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ x 66. ∴ f ( x ) 的单调增区间为66，＋ ∞ ； 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ 0 x 66. ∴ f ( x ) 的单调减区间为0 ，66. ( 2 ) f ( x ) 的定义域为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝－ ax2＋ 2 x ① 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ x2＋ 1 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ， ∴ f ( x ) 的单调增区间是 (0 ，＋ ∞ ) ，单调减区间是 ( － ∞ ， 0) ． ② 当 a 0 时，由－ ax2＋ 2 x 0 ， 即 xx －2a0 ，得 x 0 或 x 2a， ∴ f ( x ) 的单调增区间是－ ∞ ，2a和 (0 ，＋ ∞ ) ， 由－ ax2＋ 2 x 0 ，即 xx －2a0 得2a x 0 ， ∴ f ( x ) 的单调减区间是2a， 0 . [ 方法总结 ] 利用导数求函数的单调区间时，要注意以下问题： ( 1 ) 在解不等式 f ′ ( x ) 0 或 f ′ ( x ) 0 时，不能忽略了函数的定义域； ( 2 ) 当给定函数含有字母参数时，要用分类讨论的方法求解； ( 3 ) 当单调区间不止一个时，要分开写，不可写成并集的形式． 求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝ x3－ 3x＋ 1； (2)f(x)＝ 3x2－ 2lnx. [ 解析 ] ( 1 ) 函数 f ( x ) 的定义域为 R . f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 3 ，令 f ′ ( x ) ＞ 0 ，则 3 x2－ 3 ＞ 0. 即 3( x ＋ 1 ) ( x － 1) ＞ 0 ，解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1. ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( － ∞ ，－ 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 令 f ′ ( x ) ＜ 0 ，则 3( x ＋ 1 ) ( x － 1) ＜ 0 ， 解得－ 1 ＜ x ＜ 1. ∴ 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( － 1 , 1 ) ． ( 2 ) 函数的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝ 6 x －2x＝ 23 x2－ 1x. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝33， x2＝ －33，其中 x2不在定义域内． 用 x1分割定义域 D ，得下表 x 0 ，33 33 33，＋ ∞ f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ∴ 函数 f ( x ) 的单调递减区间是0 ，33，单调递增区间是33，＋ ∞ .。