人教b版高中数学选修2-2第1章14第1课时曲边梯形面积与定积分

人教b版高中数学选修2-2第1章14第1课时曲边梯形面积与定积分内容摘要：

( u )d u ＝abf ( t )d t＝ „ ( 称为积分形式的不变性 ) ． ( 2 ) 用定义求定积分的常用一般步骤是： ① 分割： n 等分区间 [ a ， b ] ； ② 近似代替：取点 ξi∈ [ xi － 1， xi] ； ③ 求和： i ＝ 1nf ( ξi)b － an； ④ 取极限：abf ( x )d x ＝ l i mn → ＋ ∞i ＝ 1nf ( ξi)b － an. 说明： n 等分区间 [ a ， b ] ，则 Δ xi＝b － an， λ ＝b － an，当 λ 趋于 0 时，即 n 趋于无穷大，并注意当 ξi∈ [ xi － 1， xi] 时， i的取值是从 1 到 n ，而非定义中的从 0 到 n － 1 ，但与定义中实质相同，定义中 ξi∈ [ xi， xi ＋ 1] ． ( 3 ) 在定积分abf ( x )d x 的概念中，一般假设 a b ，为今后使用的方便，对于 a ＝ b 和 a b 的情况特作如下的规定： 当 a ＝ b 时，abf ( x )d x ＝ 0 ； 当 a b 时，baf ( x )d x ＝ －abf ( x )d x . 当定积分的上下限相同时，定积分的值为 0 ；当交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变，但相差一个负号． ( 4 ) 定积分abf ( x )d x 就是积分和式的极限 l i mλ → 0i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi，而abf ( x )d x 只是这种极限的一种符号，读作 “ 从 a 到 b 函数 f ( x ) 的定积分 ” ． 2 ．关于定积分的几何意义 ( 1 ) 定积分表示面积． 从几何上看，如果在空 间 [ a ， b ] 上函数 f ( x ) 连续且恒有f ( x ) ≥ 0 ，那么定积分abf ( x )d x 表示由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝0 和曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的曲边梯形面积，这就是定积分abf ( x )d x的几何意义． (2)定积分表示面积的代数和． 以上考虑的问题中被积函数的值是非负的，定积分的值也为非负的，如果被积函数是负的，函数曲线在 x轴之下，定积分的值就是曲边梯形的面积的相反数．当被积函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是 x轴之上的面积与 x轴之下的面积相反数的代数和． (3)特别注意：定积分可以是面积，体积，功，路程，压力，还有更多的实际意义． 利用定积分的几何意义求定积分的步骤 (1)准确画出图形． (2)通过解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以考虑下列因素． ① 被积函数的原函数易求； ② 较少的分割区域； ③ 积分的上、下限比较简单． ( 4 ) 写出定积分，注意当 f ( x ) ≥ 0 时， S ＝ab f ( x )d x ；而当f ( x ) ≤ 0 时， S ＝－ab f ( x )d x . 利用定积分的几何意义求定积分： － 224 － x 2 d x . [ 解析 ] ∵ 被积函数的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积， ∴ 有 － 224 － x2d x ＝π 222＝ 2 π . 课堂典例探究 利用定积分的定义，求由直线 x＝ 1， x＝ 2， y＝0及 y＝ x3围成的曲边梯形的面积． [分析 ] 将区间 [1,2]平均分为 n份，将曲边梯形分成 n部分，用矩形面积近似代替每个小曲边梯形的面积，然后求各曲边梯形面积的和，最后取极限、得结论． 曲边梯形面积的求法 [解析 ] 如图所示 ． 把区间 [ 1 , 2 ] 等分成 n 个小区间1 ，n ＋ 1n，n ＋ 1n，n ＋ 2n， „ ，n ＋ in，n ＋ i＋ 1n，。