3-2第3课时

3-2第3课时内容摘要：

由于 AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， AM→＝ ( 0 ，a2， 2 a ) ， ∴ AC1→ AM→＝ 0 ＋a24＋ 2 a2＝9 a24， | AC1→|＝3 a24＋a24＋ 2 a2＝ 3 a ， | AM→|＝a24＋ 2 a2＝32a ， ∴ c os 〈 AC1→， AM→〉＝9 a243 a 3 a2＝32. ∴ 〈 AC1→， AM→〉＝ 30 176。 ， 即 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30 176。 . 法二 AB→＝ ( 0 ， a ， 0 ) ， AA1→＝ ( 0 ， 0 ， 2 a ) ， AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ． 设侧面 ABB1A1的法向量 n ＝ ( λ ， x ， y ) ， ∴ n AB→＝ 0 且 n AA1→＝ 0. ∴ ax ＝ 0 且 2 ay ＝ 0. 规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算． ∴ x ＝ y ＝ 0. 故 n ＝ ( λ ， 0 ， 0 ) ． ∵ AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， ∴ c os 〈 AC1→， n 〉＝n AC1→| n || AC1→|＝－λ2| λ |. ∴ | c os 〈 AC1→， n 〉 |＝12. ∴ AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30 176。 . 【 变式 2】 已知正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的底面边长为 a ，侧棱长为 2 a ， M 为 A 1 B 1 的中点，求 BC 1 与平面 A M C 1 所成角的正弦值 ． 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， M ( 0 ，a2， 2 a ) ， C 1 ( －32a ，a2， 2 a ) ， B ( 0 ， a ， 0 ) ， 故 AC 1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， AM→＝ ( 0 ，a2， 2 a ) ， BC 1→＝ ( －32a ，－a2， 2 a ) ． 设平面 A M C1的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ． 则AC1→ n ＝ 0 ，AM→ n ＝ 0.∴－32ax ＋a2y ＋ 2 az ＝ 0 ，a2y ＋ 2 az ＝ 0 ， 令 y ＝ 2 ，则 z ＝－22， x ＝ 0. ∴ n ＝ ( 0 ， 2 ，－22) ． 又 BC1→＝ ( －32a ，－a2， 2 a ) ， ∴ c os 〈 BC1→， n 〉＝BC1→ n| BC1→|| n | ＝－ a － a3 a 92＝－2 69. 设 BC1与平面 A M C1所成的角为 θ ， 则 s in θ ＝ | c os 〈 BC1→， n 〉 |＝2 69. (12分 )如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2， D为 CC1的中点，求二面。