基于matlab的数字滤波器的设计与仿真论文

基于matlab的数字滤波器的设计与仿真论文内容摘要：

 （ 28） 式中，  为采用点数来表示的与 w无关的常数。 第二类线性相位： () 2ww （ 29） 式中， 2 为起始相位。 严格的说，这样的 ()w 不具有线性相位，但它的群延迟仍是一个常数，即： ()dwdw  （ 210） 所以仍可将其视为具有线性相位，有时也称其为准线性相位。 对于第一类线性相位，当 ()ww 时，则有： 1010( ) sin ( )sin ( )ta n ( ) ta n ( ( ) )c o s( )( ) c o s( )NnNnh n wnwh n wn    （ 211） 河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 9 10 ( ) s in [( ) ] 0Nn h n n w  （ 212） 上式是一个三角函数求和公式，式中，正弦函数 sin[( ) ]nw 为奇对称函数。 当( 1)2N  时，对称中心为 ( 1)2Nn 。 这样，使上式成立的条件是 h(n)关于( 1)2N 偶 对称，即要求： ( ) ( 1 )h n h N n   (213) 对于第二类线性相位，当 () 2ww时，可用类似的方法得到： 10 ( ) c o s [( ) ] 0Nn h n n w  （ 214） 式中，余弦函数 cos[( ) ]nw  为偶对称函数，当 ( 1)2N  时，对称中心也 为 ( 1)2Nn 。 这样，使上式成立的条件是 h(n)关于 ( 1)2N 奇对称，即： ( ) ( 1 )h n h N n    (215) 从上面的分析中可以看出，冲激响应 h(n)关于中点 ( 1)2N 对称的滤波器一定没有相位失真，不论是奇对称还 是偶对称，这也具有线性相位特性的滤波器的设计提供了有效的现实方法。 2． 2 FIR 数字滤波器的基本结构 有限长单位脉冲响应滤波器有以下特点： ⑴系统的单位冲击响应 h(n)在有限个 n值处不为零； ⑵系统函数 H（ z）在｜ z︱＞ 0处收敛，极点全部在 z=0 处（因果系统）； ⑶结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归结构。 设 FIR 滤波器的单位冲激响应 h(n)为一个 N点序列， 01nN   ，则滤波器的系统函数为： (216） 就是说，它有（ N1）阶极点在 z=0 处，有（ N1）个零点位于有限 z 平面的任河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 10 何位置。 FIR滤波器有以下几种基本结构： ⑴直接型：系统的差分方程表达式为： (217） 如图 23 可以看出直接型结构共需要 N 个乘法器，若系数不对称则不能设计线性相位。 图 23 FIR滤波器的 直接 型结构 ⑵级联型：将 H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式为： (218） FIR 滤波器的级联结构，其中每一个二阶因子用图 23 的直接型结构。 这种结构的每一节控制一对共轭极点，因此调整传 输零点方便，但是这种结构所需的系数比直接型多，所需的乘法运算也比直接型多，所以这种结构使用的比较少。 图 24 FIR滤波器的级联型结构 ⑶频率抽样型：把一个有限长序列（长度为 N 点）的 z 变换 H (z)在单位圆上作 N 等分抽样，就得到 H(k)，其主值序列就等于 h(n)的离散傅里叶变换 H(k)。 用 H (k)X(n) 01 02 0N 1z 1z 1z 1z 1z 1z Y(n) 11 21 12 22 12N 22N X(n) h(0) h(1) h(2) h(N2) h(N1) Y(n) 1z 1z 1z 河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 11 表示的 H(z)的内插公式为： (219) （ 220） 这种结构由两部分级联组成，其中 是一个 FIR 子系统，是由 N节延时单元构成的梳状滤波器。 级联的另一部分为 它是由 N 个一阶网络并联组成，而这每一个一阶网络都是一个谐振器。 此一阶网络在频率为 2 kw N 处响应为无穷大，故等效于谐振频率为 2kN 的无损耗谐振器。 这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点相抵消，从而使这个频率（ 2 kw N ）上的频率响应等于 H(k)。 这样， N个谐振器的 N 个极点就和梳状滤波器的 N 个零点相互抵消，保证了网络的稳定性。 N 个并联谐振器与梳状滤波器级联后，得到图 25的频率抽样结构。 图 25 FIR滤波器的频率抽样型结构 在频率抽样结构中，控制滤波器的频率响应很方便。 但是结构中所乘的系数都是复数，增加了乘法次数和存储量，而且所有极点都在单位圆上，由系数决定，这样，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消，从而X(n) Y(n) H(1) H(N1) Nz 1z 1z 1z H(0) 河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 12 影响系统的稳定性。 2． 3 本章小结 本章主要介绍了有限冲击响应数字滤波的基本概念和数学模型，给出了有限冲击响应数字滤波器具有线性相位的条件，以及有限冲击响应数字滤波器的各种结构及其特点。 3 FIR 数字滤波器设计方法研究 在实际工程设计限冲击响应数字滤波的时候，人们最常用的就是窗函数设计法，然后是频率采样法，但是上述两种方法都有不足之处，主要是设计精度不高，运算量大，边缘频率不容易确定 [ 31]。 优化设计法能弥补上述方法的不足，能很好的逼近理想数字滤波器。 3． 1 窗函数设计法 设计思路与步骤 FIR 数字滤波器的设计一般是先给出所要求的理想的滤波器的频率响应 jwdHe ，然后寻找一组 h(n)，使由其所确定的频率响应10( ) ( )Njw jw nnH e h n e   来逼近 jwdHe。 设计在时域进行的，因而先由  jwdHe 的傅立叶反变换导出 ()dhn，即 1( ) ( )2 jw jw nddh n H e e d w   (31) 似乎只需由已知的  jwdHe 求出 ()dhn 后，经过 Z变换即可得到滤波器的系统函数。 但是事实上，由于  jwdHe 一般为逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，因而使对应的 ()dhn是无限时宽序列，且是非因果的，在物理上无法实现 [32]。 我们要设计的 FIR 滤波器， 其 hn必然是有限长的，所以要用有限长的 hn来逼近无限长的()dhn，一个有效的方法是截断 ()dhn，也就是用一个有限长度的窗口函数序列 ()wn 来截取 ()dhn，即： ( ) ( ) ( )dh n w n h n ，并将非因果序列变成因果序列。 上述过程就是 FIR滤波器窗函数设计法的基本思想。 河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 13 一个理想的窗函数应满足以下两项要求： ，以获得较陡的过度带。 ，从而使主瓣包含尽可能多的能量，这样可使肩峰和纹波减少，得到平坦的幅频特性和足够的阻带衰减。 具体设计流程图如下图 31所示： 图 31窗函数设计流程 常用的窗函数有：矩形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗、凯塞窗、三角窗等。 在窗函数中，凯塞窗是比较灵活的 一种窗函数，调整凯塞窗中的参数β的大小，我们可以得到不同性能的滤波器。 窗函数设计法是一种常用的设计数字滤波器的方法，不过在设计精度和性能方面并不是十分理想。 几种窗函数的性能比较如下表 31所示： 表 31 各种窗函数的参数表 窗函数 过渡带宽度（ P/N） 阻带最小衰减（ dB） 旁瓣峰 矩形窗 4 21 13 开始 得到所需 FIR滤波器的 H(z)或者 h(n) 结束 重新选择窗口函数改变窗口长度 N 确定逼近理想滤波器频率响应函数 Hd(ejw) 求理想滤波器的单位抽样函数 hd(n) 选择窗函数 w(n)和窗口长度 N 是 否 加窗： h(n)=hd(n)w(n)，并求出 H(ejw) H(ejw)是否满足要求 河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 14 三角窗 8 25 25 汉宁窗 8 44 31 海明窗 8 53 41 凯塞窗（β =） 60 51 布莱克曼窗 12 74 71 吉布斯效应 用窗函数对 ()dhn进行直接截断，得到有限长序列 hn，并以 hn替代 ()dhn，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯效应 [33]。 对 ()dhn加矩形窗处理后，其幅度特性 H(w)与原理想低通滤波器的幅频特性()dHw有着明显的区别： cww 附近形成了过渡带，过渡带的宽度近似为窗函数频率响应 ()NRw的主瓣宽度，即 4w N。 注意，这里所说的过渡带是指两个肩峰之间的宽度，与滤波器的真正过度带还有一定的区别，也就是说，滤波器的过渡带要比这个数值 4N 要小。 cw 的两边 2cww N（即过渡带两侧）， H(w)形成了逐渐衰减的纹波，在 2cw N处达到最大正肩峰，在 2cw N处形成最大负肩峰。 这种波动幅度取决于窗函数幅度频谱旁瓣的相对幅度，而纹波的多少则取决于窗函数旁瓣的多少。 以上两点就是窗函数直接截断 ()dhn引起的截断效应在频域的反映。 截断效应直接影响滤波器的性能，因为通带内的波动会影响滤波器通带中的平稳性， 阻带内的波动会影响阻带最小衰减，因此减小截断效应也是 FIR 数字滤波器设计的关键之一。 考察窗函数的幅频特性函数： sin ( ) sin2sin ( )2NwNxRNw x （ 32） 可见，当截取长度 N增加时，会使过渡带宽度 w 减小，使起伏震荡变密，但随河北工业大学城市学院 2020 届本科毕业设计说明书 15 着主瓣幅度增加，旁瓣也同时增加，所以主瓣与旁瓣的相对比例仍然保持不变，即不会改变肩峰的相对值。 这个相对比例是由 sinxx 决定的，或者说是由窗函数的形状来决定的。 在矩形窗情况下，无论 N 取何值，最大相对肩峰总是 %。 因此增加 N并不能有效的减少阶段效应。 3． 2 频率采样法 频率采样法也叫做频率抽样法，是直接从频域出发，把给定的理想频率响应 jwdHe 应进行等间隔抽样，即： 2( ) ( )jwd k dw NH e H k  （ 33） 此 ()dHk作为实际 FIR滤波器的频率特性的抽样值 H(k)，即令： 2( ) ( ) ( )jwd d kw NH k H k H e  （ 34） 知道 ()dHk以后，根据采样定理，可以由频率响应函数在 [0,2 ]上的 N点等间隔采样 H(k)，通过公式： ( ) [ ( )]h n IFFT H k (35) 120 11 ( )()1N Njk Nz H kHz Nez   （ 36） 确定滤波器的单位抽样响应 h。